2010年全国高中数学联合竞赛试题

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共14题，约3010字。

　　2010年全国高中数学联合竞赛一试
　　试题参考答案及评分标准（A卷）
　　说明：
　　1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.
　　2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。
　　一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
　　1. 函数 的值域是  .
　　解：易知 的定义域是 ，且 在 上是增函数，从而可知 的值域为 .
　　2. 已知函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围是  .
　　解：令 ，则原函数化为 ，即
　　.
　　由   ，
　　，
　　及  知
　　即   .      （1）
　　当 时（1）总成立；
　　对 ；
　　对 .
　　从而可知     .
　　3. 双曲线 的右半支与直线 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .
　　解：由对称性知，只要先考虑 轴上方的情况，设 与双曲线右半支于 ,交直线 于 ，则线段 内部的整点的个数为 ，从而在 轴上方区域内部整点的个数为
　　.
　　又 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为
　　.
　　4. 已知 是公差不为 的等差数列， 是等比数列，其中 ，且存在常数 使得对每一个正整数 都有 ，则   .
　　解：设 的公差为 的公比为 ，则
　　（1）
　　，   （2）
　　（1）代入（2）得
　　，求得 .
　　从而有    对一切正整数 都成立，
　　即    对一切正整数 都成立.
　　从而   ，
　　求得   ，  .
　　5. 函数  在区间 上的最大值为8，则它在这个区