2008年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）

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共15道小题，约2360字。

　　2008年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
　　说明：
　　1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
　　2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．
　　一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
　　1．函数 在 上的最小值是                               （ C ）
　　A．0               B．1              C．2               D．3
　　[解] 当 时， ，因此 
　　，当且仅当 时上式取等号．而此方程有解 ，因此 在 上的最小值为2．
　　2．设 ， ，若 ，则实数 的取值范围为       （ D ）
　　A．           B．           C．            D．
　　[解] 因 有两个实根
　　， ，
　　故 等价于 且 ，即
　　且 ，
　　解之得 ．
　　3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 为      　　　   （ B ）
　　A.    　        B.    　        C.   　     　  D. 
　　[解法一] 依题意知， 的所有可能值为2，4，6.
　　设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
　　．
　　若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有
　　，
　　，
　　，
　　故 ．
　　[解法二] 依题意知， 的所有可能值为2，4，6.
　　令 表示甲在第 局比赛中获胜，则 表示乙在第 局比赛中获胜．
　　由独立性与互不相容性得
　　，
　　，
　　，
　　故 ．
　　4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为                                                          （ A ）
　　A. 764 cm3或586 cm3                      B. 764 cm3 　     
　　C. 586 cm3或564 cm3                      D. 586 cm3
　　[解] 设这三个正方体的棱长分别为 ，则有 ， ，不妨设 ，从而 ， ．故 ． 只能取9，8，7，6．
　　若 ，则 ，易知 ， ，得一组解 ．
　　若 ，则 ， ．但 ， ，从而 或5．若 ，则 无解，若 ，则 无解．此时无解．
　　若 ，则 ，有唯一解 ， ．
　　若 ，则 ，此时 ， ．故 ，但 ，故 ，此时 无解．
　　综上，共有两组解 或
　　体积为 cm3或 cm3．
　　5．方程组 的有理数解 的个数为                      （ B ）
　　A.  1               B.  2             C.  3               D.  4
　　[解] 若 ，则 解得 或
　　若 ，则由 得 ．       ①
　　由 得 ．             ②
　　将②代入 得 ．           ③
　　由①得 ，代入③化简得 .
　　易知 无有理数根，故 ，由①得 ，由②得 ，与 矛盾，故该方程组共有两组有理数解 或
　　6．设 的内角 所对的边 成等比数列，则 的取值范围是
　　（ C ）
　　A.                             B.  
　　C.                      D. 
　　[解] 设 的公比为 ，则 ，而
　　．
　　因此，只需求 的取值范围．
　　因 成等比数列，最大边只能是 或 ，因此 要构成三角形的三边，必需且只需 且 ．即有不等式组
　　即
　　解得
　　从而 ，因此所求的取值范围是 ．
　　二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
　　7．设 ，其中 为实数， ， ， ，若 ，则  　  5     .
　　[解] 由题意知
　　，
　　由 得 ， ，因此 ， ， ．
　　8．设 的最小值为 ，则  ．
　　[解] 
　　，
　　(1)  时， 当 时取最小值 ；
　　(2)  时， 当 时取最小值1；
　　(3)  时， 当 时取最小值 ．
　　又 或 时， 的最小值不能为 ，
　　故 ，解得 ， (舍去)．
　　9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有　  222　　种．