2008年全国高中数学联合竞赛加试试题

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　　约1450字 2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）
　　试题参考答案及评分标准
　　说明：
　　1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；
　　2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．
　　一、（本题满分50分）
　　如题一图，给定凸四边形 ， ， 是平面上的动点，令 ．
　　（Ⅰ）求证：当 达到最小值时， 四点共圆；
　　（Ⅱ）设 是 外接圆 的 上一点，满足： ， ， ，又 是 的切线， ，求 的最小值．
　　[解法一]  （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点 ，有
　　．
　　因此  
　　．
　　因为上面不等式当且仅当 顺次共圆时取等号，因此当且仅当 在 的外接圆且在 上时，
　　．                 …10分
　　又因 ，此不等式当且仅当 共线且 在 上时取等号．因此当且仅当 为 的外接圆与 的交点时， 取最小值 ．
　　故当 达最小值时， 四点共圆．                            …20分
　　（Ⅱ）记 ，则 ，由正弦定理有 ，从而 ，即 ，所以
　　，
　　整理得 ，　　　　　　　　　　         　    　　　…30分
　　解得 或 （舍去），
　　故 ， ．                                  
　　由已知 = ,有 ，即 ，整理得 ，故 ，可得 ，         　　　　　        …40分