2009年全国高中数学联赛江苏省初赛试题

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　　约3500字 2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
　　(2009年5月3日8∶00－10∶00)
　　一、填空题(每小题7分，共70分) 
　　1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝          ．
　　2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝            ．
　　3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝             ．
　　4．已知3x＋19x－1＝13－31－x，则实数x＝            ．
　　5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为           ．
　　6．设f(x)＝log3x－4－x，则满足f(x)≥0的x的取值范围是            ．
　　7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水              cm3．
　　8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则→BC•→AO＝           ．
　　9．设数列{an}满足：an＋1an＝2an＋1－2(n＝1，2，…)，a2009＝2，则此数列的前2009项的和为         ．
　　10．设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝           ．
　　二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) 
　　11．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆x29＋y24＝1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点．求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积．
　　12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．
　　13．若不等式x＋y≤k2x＋y对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．
　　14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；
　　⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．