《高中数学竞赛教案讲义（9）——不等式》教案

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　　约2240字   第九章不等式
　　一、基础知识
　　不等式的基本性质：
　　（1）a>b a-b>0；      （2）a>b, b>c a>c；
　　（3）a>b a+c>b+c；  （4）a>b, c>0 ac>bc；
　　（5）a>b, c<0 ac<bc;   （6）a>b>0, c>d>0 ac>bd;
　　（7）a>b>0, n∈N+ an>bn;   （8）a>b>0, n∈N+  ;
　　（9）a>0, |x|<a -a<x<a, |x|>a x>a或x<-a;
　　（10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;
　　（11）a, b∈R，则(a-b)2≥0 a2+b2≥2ab;
　　（12）x, y, z∈R+，则x+y≥2 , x+y+z  w.w.w.前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
　　（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若 ，由性质（7）得 ，即a≤b，与a>b矛盾，所以假设不成立，所以 ；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2 ≥0，所以x+y≥ ，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令 ，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=  (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥ ，等号当且仅当x=y=z时成立。 
　　二、方法与例题
　　1．不等式证明的基本方法。
　　（1）比较法，在证明A>B或A<B时利用A-B与0比较大小，或把 （A，B>0）与1比较大小，最后得出结论。
　　例1  设a, b, c∈R+，试证：对任意实数x, y, z, 有x2+y2+z2 
　　例2  若a<x<1，比较大小：|loga(1-x)|与|loga(1+x)|.
　　（2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。
　　例3  已知a, b, c∈R+，求证：a+b+c-3 ≥a+b 
　　（3）数学归纳法。
　　例5  对任意正整数n(≥3)，求证：nn+1>(n+1)n.
　　（4）反证法。
　　例6  设实数a0, a1,…,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,…, an-2-2an-1+an≥0，求证ak≤0(k=1, 2,…, n-1).
　　（5）分类讨论法。
　　例7  已知x, y, z∈R+，求证： 
　　（6）放缩法，即要证A>B，可证A>C1, C1≥C2,…,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+).
　　例8  求证： 
　　例9  已知a, b, c是△ABC的三条边长，m>0，求证： 
　　（7）引入参变量法。
　　例10  已知x, y∈R+, l, a, b为待定正数，求f(x, y)= 的最小值。
　　例11  设x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1，求证：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.
　　（8）局部不等式。
　　例12  已知x, y, z∈R+，且x2+y2+z2=1，求证：  
　　例13  已知0≤a, b, c≤1，求证： ≤2。