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- 北师大版
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- 必修五试卷
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- 2018/8/14 23:06:27
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2018年高中数学第二章解三角形达标练习（打包5套）北师大版必修5
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2.1.1 正弦定理
[A 基础达标]
1．在△ABC中，若3a＝2bsin A，则B＝( )
A.π3 B．π6
C.π3或2π3 D．π6或5π6
解析：选C.由正弦定理，得3sin A＝2sin Bsin A，所以sin A(2sin B－3)＝0.因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B＝32，所以B＝π3或2π3.
2．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a∶b∶c等于( )
A．3∶2∶1 B．3∶2∶1
C.3∶2∶1 D．2∶3∶1
解析：选D.因为A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，
所以A＝90°，B＝60°，C＝30°，
所以a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.
3．符合下列条件的△ABC有且只有一个的是( )
A．a＝1，b＝2，A＝30° B．a＝1，b＝2，c＝3
C．b＝c＝1，B＝45° D．a＝1，b＝2，A＝100°
解析：选C.对于A，由正弦定理得1sin 30°＝2sin B，所以sin B＝22.又a<b，所以B＝45°或135°，所以满足条件的三角形有两个．对于B，a＋b＝c，构不成三角形．对于C，b＝c＝1，所以B＝C＝45°，A＝90°，所以满足条件的三角形只有一个．对于D，a<b，所以A<B，而A＝100°，所以没有满足条件的三角形．
4．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.将a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)代入已知条件，得sin2Atan B＝sin2Btan A，则sin2Asin Bcos B＝sin Asin2Bcos A.
因为sin Asin B≠0，所以sin Acos B＝sin Bcos A，
2.3 解三角形的实际应用举例
[A 基础达标]
1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点间的距离为( )
A．502 m B．503 m
C．252 m D．2522 m
解析：选A.由正弦定理得ABsin ∠ACB＝ACsin ∠CBA.又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，故AB＝AC•sin∠ACBsin∠CBA＝50×2212＝502 (m)．
2.如图，测量河对岸的塔的高度AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔AB的高度为( )
A．152米 B．153米
C．15(3＋1)米 D．156米
解析：选D.在△BCD中，由正弦定理得BC＝CDsin 30°sin 135°＝152(米)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan 60°＝156(米)．故选D.
3．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°方向且距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速为21海里，则舰艇与渔船相遇的最短时间为( )
A．20分钟 B．40分钟
C．60分钟 D．80分钟
解析：选B.如图，设它们在D处相遇，用时为t小时，则AD＝21t，CD＝9t，∠ACD＝120°，由余弦定理，得cos 120°＝102＋（9t）2－（21t）22×10×9t，解得t＝23(负值舍去)，23小时＝40分种，即舰艇与渔船相遇的最短时间为40分钟．
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