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- 人教版
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- 高考专项试卷
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- 2018/3/8 22:22:14
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2018年高考数学二轮复习6个解答题专项强化练（打包6套）
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6个解答题专项强化练(二) 空间中位置关系的证明
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝EC＝12AA1.求证：
(1)AC1∥平面BDE；
(2)A1E⊥平面BDE.
证明：(1)连结AC交BD于点O，连结OE.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
因为四边形ABCD为正方形，所以点O为AC的中点，
因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，又EC＝12AA1，
所以EC＝12CC1，
即点E为CC1的中点，于是在△CAC1中，AC1∥OE.
又因为OE⊂平面BDE，AC1⊄平面BDE，
所以AC1∥平面BDE.
(2)连结B1E.设AB＝a，则在△BB1E中，BE＝B1E＝2a，BB1＝2a.
所以BE2＋B1E2＝BB21 ，所以B1E⊥BE.
由ABCD-A1B1C1D1为长方体，得A1B1⊥平面BB1C1C.因为BE⊂平面BB1C1C，所以A1B1⊥BE.
因为B1E∩A1B1＝B1，B1E⊂平面A1B1E，A1B1⊂平面A1B1E，所以BE⊥平面A1B1E.
又因为A1E⊂平面A1B1E, 所以A1E⊥BE.
同理A1E⊥DE.
又因为BE∩DE＝E，BE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，
所以A1E⊥平面BDE.
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．
求证：(1)MN∥平面PAB;
(2)AM⊥平面PCD.
证明：(1)因为M，N分别为棱PD，PC的中点，
所以MN∥DC,
又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，
所以MN∥AB.
又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)因为AP＝AD，M为PD的中点，
6个解答题专项强化练(一) 三角函数与解三角形
1．已知向量m＝(cos α，－1)，n＝(2，sin α)，其中α∈0，π2，且m⊥n.
(1)求cos 2α的值；
(2)若sin(α－β)＝1010，且β∈0，π2，求角β的值．
解：法一：(1)由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，即sin α＝2cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝15，
又α∈0，π2，
所以cos α＝55，sin α＝255，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝552－2552＝－35.
(2)由α∈0，π2，β∈0，π2，得α－β∈－π2，π2.
因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010.
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝255×31010－55×1010＝22.
因为β∈0，π2，所以β＝π4.
法二：(1)由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，tan α＝2,
故cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝1－41＋4＝－35.
(2)由(1)知，2cos α－sin α＝0,
且sin2α＋cos2α＝1，α∈0，π2，
所以sin α＝255，cos α＝55，
由α∈0，π2，β∈0，π2，得α－β∈－π2，π2.
因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]
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