《圆锥曲线与方程》复习教案

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约28350字。

1．椭圆的定义
　　平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
　　这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
　　椭圆的集合描述：设点M是椭圆上任意一点，点F1，F2是椭圆的焦点，则由椭圆的定义，椭圆就是集合P＝{M｜|MF1|＋|MF2|＝2a，0＜|F1F2|＜2a}．
　　2．椭圆的标准方程的推导过程
　　如图，给定椭圆，它的焦点为F1，F2，焦距|F1F2|＝2c(c＞0)，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a(a＞c).
　　（1）建系：以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy．那么焦点F1，F2的坐标分别为_________，_________．
　　（2）列式：设M(x，y)是椭圆上任意一点，由椭圆的定义得|MF1|＋|MF2|＝2a，即   ．
　　（3）化简：上式整理可得 ．令 ，可得 (a＞b＞0)．
　　3．椭圆的标准方程
　　椭圆的标准方程有两种形式：
　　（1）焦点落在x轴上的椭圆的标准方程为 (a＞b＞0)，焦点为F1 (－c，0)，F2 (c，0)，焦距为_________，且 _________，如图1所示；
　　（2）焦点落在y轴上的椭圆的标准方程为 (a＞b＞0)，焦点为F1 (0，－c)，F2 (0，c)，焦距为_________，且 _________，如图2所示．
　　图1 图2   图3
　　注：椭圆方程中，a表示椭圆上的点到两焦点的距离的和的一半，可借助于图3记忆．正数a，b，c恰好构成一个直角三角形，其中a是斜边，所以a＞b，a＞c且 ，其中c是焦距的一半．对于图2中的椭圆，关系式a＞b，a＞c且 也始终成立．
　　4．椭圆 (a＞b＞0)的简单几何性质
　　（1）范围：易知 ，故 ，即 ；同理 ．
　　故椭圆位于直线 和 所围成的矩形框里．
　　（2）对称性：在方程中，以 代替 或以 代替或以 代替 、以 代替，方程都不改变，故椭圆关于x轴、y轴和原点都对称．原点为椭圆的对称中心，也称为椭圆的中心．
　　（3）顶点：椭圆与x轴、y轴分别有两个交点，这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点，叫做椭圆的顶点．其中x轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，y轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，长轴长为_________，短轴长为_________．
　　说明：依据椭圆的四个顶点，可以确定椭圆的具体位置．
　　（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的_________．
　　离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在