2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题

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共12道小题，约1670字。

2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题
　　年 月 日上午
　　一、填空题（每小题 分，共 分）
　　、若 的值域为 ，那么 的取值范围是          ．答案： ．
　　解：由值域 ， ，
　　，  .
　　、四面体 中， 是一个正三角形， ， ，
　　，则 到面 的距离为          ．答案： ．
　　解：如图，据题意得， ，
　　于是 ， ，
　　因 ，得 ，从而以
　　为顶点的三面角是三直三面角，
　　四面体体积 ，而 ，
　　若设 到面 的距离为 ，则 ，由 ，
　　得到 ．
　　、若对于所有的正数 ，均有 ，则实数 的最小值是      ．答案： ．
　　解：由 ，得 ，
　　当 时取等号．
　　、已知 是正方形 内切圆上的一点，记 ，则             ．答案： ．
　　解：如图建立直角坐标系，设圆方程为 ，
　　则正方形顶点坐标为 ，
　　若点 的坐标为 ，于是直线
　　的斜率分别为
　　， ，
　　所以 ，
　　，
　　由此立得 ．
　　解2：取特例， 在坐标轴上，则 ，
　　这时， ，
　　、等差数列 与 的公共项（具有相同数值的项）的个数是           ．答案： ．
　　解：将两个数列中的各项都加 ，则问题等价于求等差数列 与等差数列 的公共项个数；前者是 中的全体能被 整除的数，后者是 中的全体能被 整除的数，故公共项是 中的全体能被 整除的数，这种数有 个．
　　、设 为锐角，则函数 的最大值是        ．答案： ．
　　解：由 ，