《一元二次方程的解法》教学设计

约2920字。

17.2 一元二次方程的解法
　　1．配方法
　　学习目标
　　1．学会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程；(重点)
　　2．理解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　教学过程
　　一、情境导入
　　一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：h＝5x2，问石头经过多长时间落到地面？
　　二、合作探究
　　探究点一：用直接开平方法解一元二次方程
　　用直接开平方法解下列方程：
　　(1)x2－16＝0;  (2)3x2－27＝0；
　　(3)(x－2)2＝9;  (4)(2y－3)2＝16.
　　解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解．注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情况．
　　解：(1)移项，得x2＝16.根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4；
　　(2)移项，得3x2＝27.两边同时除以3，得x2＝9.根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3；
　　(3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x－2＝3或x－2＝－3，即x1＝5，x2＝－1；
　　(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即2y－3＝4或2y－3＝－4，即y1＝72，y2＝－12.
　　方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：①x2＝a(a≥0)；②(x＋a)2＝b(b≥0)；③(ax＋b)2＝c(c≥0)；④(ax＋b)2＝(cx＋d)2(|a|≠|c|)．
　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
　　探究点二：用配方法解一元二次方程
　　【类型一】 用配方法解一元二次方程
　　用配方法解下列方程：
　　(1)x2－2x－35＝0；
　　(2)3x2＋8x－3＝0.
　　解析：当二次项系数是1时，先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配方成完全平方式，即为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，再用直接开平方法求解；当二次项系数不是1时，先将二次项系数化为1，再用配方法解方程．
　　解：(1)移项，得x2－2x＝35.配方，得x2－2x＋12＝35＋12，即(x－1)2＝36.直接开平方，得x－1＝±6.所以原方程的根是x1＝7，x2＝－5；
　　(2)方程两边同时除以3，得x2＋83x－1＝0.移项，得x2＋83x＝1.配方，得x2＋83x＋(43)2＝1＋(43)2，即(x＋43)2＝(53)2.直接开平方，得x＋43＝±53.所以原方程的根是x1＝13，x2＝－3.
　　方法总结：运用配方法解一元二次方程的关键是先把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，然后在方程两边同时添加常数项，使其等于一次项系数一半的平方．