2015年高考真题与模拟题分类汇编数学（文）：F单元《平面向量》

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约4250字。

数    学
　　F单元　平面向量                                                                          
　　F1　平面向量的概念及其线性运算
　　2．F1[2015•四川卷] 设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝(　　)
　　A．2  B．3  C．4  D．6
　　2．B　[解析] 由向量a，b共线，得2×6－4x＝0，解得x＝3，选B.
　　2． F1、F2[2015•全国卷Ⅰ] 已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝(　　)
　　A．(－7，－4)  B．(7，4)
　　C．(－1，4)  D．(1，4)
　　2．A　[解析] AB→＝(3，1)，BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
　　2．F1[2015•四川卷] 设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝(　　)
　　A．2  B．3  C．4  D．6
　　2．B　[解析] 由向量a，b共线，得2×6－4x＝0，解得x＝3，选B.
　　F2　平面向量基本定理及向量坐标运算
　　6．F2[2015•江苏卷] 已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
　　6．－3　[解析] 因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5，故m－n＝－3.
　　2．F1、F2[2015•全国卷Ⅰ] 已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝(　　)
　　A．(－7，－4)  B．(7，4)
　　C．(－1，4)  D．(1，4)
　　2．A　[解析] AB→＝(3，1)，BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
　　4．F2、F3[2015•全国卷Ⅱ] 向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)•a＝(　　)
　　A．－1  B．0
　　C．1  D．2
　　4．C　[解析] 2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，所以(2a＋b)•a＝(1，0)•(1，－1)＝1.
　　9．F2、F4[2015•湖南卷] 已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2，0)，则|PA→＋PB→＋PC→|的最大值为(　　)
　　A．6  B．7
　　C．8  D．9
　　9．B　[解析] 方法一：因为A，B，C均在单位圆上，且AB⊥BC，所以A，C为直径的端点，故PA→＋PC→＝2PO→＝(－4，0)，|PA→＋PB→＋PC→|＝|2PO→＋PB→|≤2|PO→|＋|PB→|，又|PB→|≤|PO→|＋1＝3，所以|PA→＋PB→＋PC→|≤4＋3＝7，故最大值为7，选B.
　　方法二：因为A，B，C均在单位圆上，且AB⊥BC，所以A，C为直径的端点，令A(cos x，sin x)，B(cos (x＋α)，sin (x＋α))，C(－cos x，－sin x)，0<α<π，
　　则PA→＋PB→＋PC→＝(cos(x＋α)－6，sin(x＋α))，
　　|PA→＋PB→＋PC→|＝[cos（x＋α）－6]2＋sin2（x＋α）＝37－12cos（x＋α）≤7，故选B.
　　F3　平面向量的数量积及应用
　　4．F2、F3[2015•全国卷Ⅱ] 向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)•a＝(　　)
　　A．－1  B．0
　　C．1  D．2
　　4．C　[解析] 2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，所以(2a＋b)•a＝(1，0)•(1，－1)＝1.
　　6．A2，F3[2015•北京卷] 设a，b是非零向量．“a•b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)
　　A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件
　　C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件
　　6．A　[解析] 根据数量积的定义，a•b＝a•bcos θ，由a•b＝a•b可得cos θ＝1，根据向量所成角的范围得到θ＝0，所以a∥b；若a∥b，可得向量a与向量b共线，即所成的角为0或π，所以a•b＝±a•b，故选A.
　　13．H4、F3[2015•山东卷] 过点P(1，3)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA→•PB→＝________．
　　13.32　[解析] 如图所示，|PA|＝|PB|＝3，|OP|＝2，|OA|＝1，且PA⊥OA，∴∠APO＝π6，即∠APB＝π3，∴PA→•PB→＝|PA→||PB→|cos∠APB＝3×3×cosπ3＝32.
　　8．F3[2015•陕西卷] 对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)
　　A．|a•b|≤|a||b|
　　B．|a－b|≤||a|－|b||