导数在函数中的常见应用

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　　导数在函数中的常见应用
　　贵州省道真县道真中学（563500）熊胜
　　函数和导数都是高中数学的重要内容，导数是研究函数的主要工具，同时导数及其性质的应用也离不开函数的支撑，因此，以函数为载体，导数为工具来命题，始终是高考的热点。如：1、切线：可导函数 在 处切线的斜率是 ，进而可求出切线方程。2、单调区间：体现在两个方面 （1）求可导函数 的单调区间 由 解不等式。（2）已知可导函数 在M上单调，求参数范围  在M上恒成立。3、极值：对于可导函数 ，在 的两侧函数值异号时， 在该点处有极值。4、最值：闭区间上的连续函数一定有最值，若 在 上连续，在 内可导，求出 在 内的极值并与 、 比较，可得函数 在 的最值。以上是近年高考的主要考点。除此之外函数借助导数的极值、最值解决其他相应的问题。本文借助近年的高考试题，分析依托导数研究函数性质的知识点。
　　一、 利用导数求函数的零点
　　借助函数的极值、最值，可以判断方程 的根的个数。即：若 在相邻的两个极值之间，若极大值大于0，极小值小于0，则在这两个极值间有且只有一个 使得 。
　　例1、（2008四川）已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点.
　　（Ⅰ）求a;
　　（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
　　（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围.
　　解：（Ⅰ）因为f′(x)＝ 所以f′(3)= 因为a=16.
　　(Ⅱ)由（Ⅰ）知，f′(x)＝16ln(1+x)+x2-10x,x∈(-1,+∞)，f′(x)＝
　　当x∈（-1，1）∪(3,+∞)时，f′(x)＞0.当x∈（1，3）时，f′(x)＜0.
　　所以f (x)的单调增区间是（-1，1），（3，+∞），f(x).的单调减区间是（1，3），
　　（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)在（-1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0，
　　所以f (x)的极大值为f (1)＝16ln2-9，极小值为f（3）＝32ln2-21.
　　因为f（16）＞162-10×16>16ln2-9＝f（1）.f（e-2-1）＜-32+11＝-21＜f（3），
　　所以在f(x)的三个单调区间（-1，1），（1，3），（3，+∞）直线y＝B与y=f(x)的图像各有一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f(1).
　　因为，b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）.
　　二、利用导数证明不等式或不等式恒成立
　　（1）要证明 ，只要证明 ，即证明 即可。