初中九年级上册数学第一单元导学案

约12500字。

　　§1.1等腰三角形的性质和判定（1）
　　【知识回顾】
　　1、什么叫做等腰三角形？ 答：有两边相等的三角形是等腰三角形。
　　2、等腰三角形有哪些性质？       答： ①等腰三角形的两个底角相等。
　　② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
　　3、上述性质你是怎么得到的？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？
　　【新课导入】
　　求证：等腰三角形的两个底角相等。        
　　题目：已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C．
　　考虑思路：要想证明∠B=∠C，只要证△ABD≌△ACD，
　　只需有AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD．
　　解题方法：证明:作∠BAC的平分线AD.
　　在△ABD 和△ACD 中，
　　AB=AC(已知)，
　　∠BAD=∠CAD(辅助线画法)，
　　AD=AD(公共边)，
　　∴△ABD≌△ACD(SAS)．
　　∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等) ．
　　定理：等腰三角形的两个底角相等. (简称“等边对等角”)
　　定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
　　逆命题：　如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
　　题目：已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．
　　解题方法：证明：作∠BAC的平分线AD．
　　在△ABD和△ACD中，
　　AB =AC(已知)，
　　∠BAD =∠CAD(辅助线画法)，
　　AD =AD(公共边)，
　　∴△ABD≌△ACD(SAS)．
　　∴AB =AC(全等三角形的对应边相等)．
　　定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．(简称“等角对等边”)
　　【例题讲解】
　　○例1题目：已知：如图∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC. 求证：AB=AC．
　　考虑思路：要想证明AB =AC，只需证∠B=∠C．已知∠EAD=∠DAC，只需证∠EAD =∠B，
　　∠DAC =∠C．
　　证明：∵AD∥BC，
　　∴∠EAD=∠B，
　　∠DAC=∠C．
　　∵∠EAD =∠DAC，
　　∴∠B=∠C．
　　∴ AB=AC (等角对等边)．
　　（拓展提升）
　　题目：在上图中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分
　　∠EAC吗？为什么？
　　解题方法：证明：∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C．∵AB=AC，  ∴∠B=∠C．
　　∴∠EAD=∠DAC． 即 AD平分∠EAC．
　　○例2题目：证明：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 　
　　已知：如图，PA=PB
　　求证：P在AB的垂直平分线上
　　证明：过P点作MN⊥AB，垂足为Ｃ
　　∵PA=PB（已知）
　　∴AC=BC（等腰三角形的“三线合一”）
　　∴ MN是AB的垂直平分线
　　∴P在AB的垂直平分线上
　　【巩固练习】
　　1、题目：证明：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
　　考虑思路：根据垂直平分线的性质得出的性质得出△ADB≌△ADC，进而求出即可．
　　解题方法： 证明：∵AD⊥BC，DB=CD．
　　∴AD=AD，∠ADB=∠ADC，BD=DC，
　　∴△ADB≌△ADC，
　　∴AB=AC．
　　2、题目：如图，BO平分∠CBA, CO平分∠ABC, 且MN//BC,设AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN的周长。
　　考虑思路：根据BO平分∠CBA，CO平分∠ABC，且MN∥BC，可得出MO=MC，NO=NB，所以三角形AMN的周长是AB+AC．
　　解题方法：解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
　　∴∠NBO=∠OBC，∠OCM=∠OCB，
　　∵MN∥BC，∴∠NOB=∠OBC，∠MOC=∠OCB，