探究抛物线的几个几何性质

约1530字。

　　探究抛物线的几个几何性质
　　北京市顺义区牛栏山第一中学   孙枫 许成文   101301
　　解析几何的实质是用坐标法来研究几何问题，在解析几何研究过程中，运用了一些数学思想和方法，比如：方程思想、分类讨论思想和数形结合思想。圆锥曲线有许多有趣的几何性质，通过探究，不仅有利于学生掌握坐标法，领会其中蕴含的思想和方法，还能提高学生的学习解析几何的兴趣。下面以抛物线为例，探究它的几个几何性质。
　　性质一： 抛物线中斜率为 的弦的中点的轨迹是一条射线.
　　例1. 求抛物线 中斜率为 的弦的中点的轨迹.
　　解法一：设直线的方程为
　　联立方程 ，消去 得：
　　设两交点 ，弦AB的中点
　　则 ， 
　　（定值）
　　由于弦的中点在抛物线的内部，所以弦的中点的轨迹为平行于x轴的射线（不包括端点）.
　　解法二：设两交点 ，弦AB的中点
　　则有，  ，
　　（定值）
　　由于弦的中点在抛物线的内部，所以弦的中点的轨迹为平行于x轴的射线（不包括端点）.
　　评注：解法一利用韦达定理得出中点坐标与方程系数的关系，进而得出中点的轨迹方程，体现了数形结合思想和方程思想，整体思想。解法二运用“点差法”巧妙地将中点坐标和直线的斜率联系起来，方程思想运用得恰到好处。
　　性质二： 以焦点弦为直径的圆与其准线相切
　　例2. 已知 为抛物线 的焦点弦，求证：以 为直径的圆与其准线相切。
　　解法一：设两交点 ，弦AB的中点
　　则 ，
　　当直线AB与x轴垂直时，|AB|= ,M到准线的距离也是 ,
　　准线与此圆相切.
　　当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为 ,
　　联立方程 ，消去 得：