《函数与导数》专题练习题

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共20题，约4350字。

　　函数与导数
　　1、函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，则x1•x2＝     
　　【解析】f(x)＝3x2＋2ax＋3，则x1•x2＝1
　　2、函数f(x)＝13x3＋ax＋1在(－∞，－1)上为增函数，在(－1，1)上为减函数，则f(1)为     
　　【解析】∵f(x)＝x2＋a，又f(－1)＝0，∴ a＝－1，f(1)＝13－1＋1＝13
　　3、函数y＝f(x)在定义域(－32，3)内可导，其图像如图所示.记y＝f(x)的导函数为y＝f(x)，则不等式f(x)≤0的解集为                      [－13，1]∪[2，3) 
　　4、函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如下图所示.则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点有      个   （    ）
　　【解析】f(x)的图象与x轴有A、B、O、C四个交点. 其中在A、C处f(x)的值都是由正变负，相应的函数值则由增变减，故f(x)点A、C处应取得极大值；在B处f(x)的值由负变正，相应的函数值则由减变增，故f(x)在点B处应取得极小值.点O处f(x)的值没有正负交替的变化，故不是极值点，这就是说，点B是唯一的极值点.
　　5、下列图象中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f(x)的图象，则f(－1)等于              （    ）
　　【解析】∵f(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，又a≠0，∴f′(x)的图象为第三个，知f(0)＝0，故a＝－1，f(－1)＝－13＋a＋1＝－13.18．已知定义在R上的函数f(x)＝x2(ax－3)，其中a为常数.(Ⅰ)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围.
　　6、 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ,对任意正数 ,若 ，则必有（     ）A、      B、    C、      D. 
　　解析：xf/(x)+f(x)≤0 [xf(x)]/ ≤0 函数F(x)= xf(x) 在（0，+∞）上为常函数或递减，
　　又0<a＜b且f(x)非负，于是有：af(a)≥bf(b)≥0   ①         ②①②两式相乘得：   af(b) ≤bf(a)，故选A。
　　7、已知函数 在 处有极值10,则                     
　　解析：  ，∴ =    ①
　　②  由①②得： 或
　　当 时， ，此时函数 无极值，舍去；