初中奥数竞赛辅导资料之第一讲因式分解（一）

约4000字。

　　第一讲 因式分解(一)
　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
　　1．运用公式法
　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；
　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
　　(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
　　(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
　　下面再补充几个常用的公式：
　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
　　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
　　(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；
　　(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；
　　(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．
　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
　　例1 分解因式：
　　(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；
　　(2)x3-8y3-z3-6xyz；
　　(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；
　　(4)a7-a5b2+a2b5-b7．
　　解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
　　=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
　　=-2xn-1yn(x2n-y2)2
　　=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．
　　(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
　　=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．
　　(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
　　＝(a-b)2+2c(a-b)+c2
　　=(a-b+c)2．
　　本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：
　　原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
　　=(a-b+c)2
　　(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)
　　=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)
　　=(a2-b2)(a5+b5)
　　=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
　　=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
　　例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
　　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．
　　分析 我们已经知道公式
　　(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
　　的正确性，现将此公式变形为
　　a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．
　　这个 式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．
　　解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
　　=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)
　　=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
　　=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．
　　说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为
　　a3+b3+c3-3abc
　　显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．
　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有
　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．