一类复合函数单调性的再探究

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约1270字。

　　一类复合函数单调性的再探究
　　甘肃瓜州一中   张平
　　函数的单调性是函数性质的重要组成部分，它从根本上揭示了函数在区间上的变化趋势。利用函数的单调性可以解决诸多问题，如“已知自变量的不等式关系可以确定函数值的不等式关系”、“已知函数值的不等式关系可以确定自变量的不等式关系”、抽象函数不等式问题、最值问题等。而复合函数的单调性因其有内外层函数的单调性双向决定，使得它的内容更加丰富饱满，因此这类问题受到很多命题者的青睐，常被选作考查学生思维能力的典型材料，在高考中具有较强的生存力。而有一类复合函数的单调性因为知识交叉点颇多或者区别与一般复合函数的单调性，老师、学生不得要领，纠结在一般复合函数的单调性解法中，苦苦思索，可无法破解，造成学生在练习、作业、考试中出错率颇高。本文对这一类复合函数的单调性进行剖析与探究，旨在总结一般出规律，达到解惑释疑之功效。
　　首先，温习一下复合函数单调性的判断方法：设函数 和 在公共区间 内都是单调函数，那么函数 在 内也是单调函数，并且，若 和 的单调性相同（反），则 是增（减）函数，简称“通增异减”。如求函数 的单调性，它由内层函数 和外层函数 复合而成，根据定义域优先原则，由 得 或 ，因为外层函数 是减函数，内层函数 在 是减函数，在 是增函数，故 在 是增函数，在 减函数。此复合函数的单调性的求解简单易行，规律很强，易于求解。而本文对如下复合函数的单调性进行探索与研究，解法却不尽相同。
　　探索与研究   已知 ，试讨论函数 的单调性。
　　本题由于两个二次函数的单调区间分别以“1”和“0”为界来划分，因此给找到  的单调区间造成了知识混淆，解题出现了纷繁复杂的局面，很多人感到没有思路，不能总结出一般规律。事实并非如此，下面从几个方面进行剖析。
　　典型错解：令   
　　内层函数 在 上是增函数，在 上是减函数。
　　外层函数 在 上是减函数，在 上是增函数。
　　故 在 上是减函数， 上是增函数，在 上是减函数。
　　错因分析：本题的错误在于内层函数 的自变量是 ，而外层函数 的自变量是 ，将内外层函数的自变量混淆没有统一起来时错误的根本原因。我们知道无论一个函数复合几次其单调性的判断必须放在定义域内 所处的区间上来，不难发现外层函数的自变量 其实是内层函数的函数，那么如何将外层函数的 自变量转化为 ，将是本题得以解决的关键。下面给出正解，总结一般方法。
　　正确解法：令 
　　因为 ，则 在  上是增函数，在 上是减函数。 即 的单调性以“0”为界来划分， 为自变量。              （1）
　　又因为 在 上是减函数， 上是增函数