2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

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共14道小题，约1620字。

　　2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
　　一、填空题（本题满分70分，每小题7分）
　　1．方程 的实数解为                ．
　　提示与答案：x＜0无解; 当 时，原方程变形为32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32．
　　2．函数  R 的单调减区间是                      .
　　提示与答案：与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同，  Z．
　　3．在△ 中，已知 ， ，则 ＝                  .
　　提示与答案： ，得 ．
　　4．函数 在区间 上的最大值是        ，最小值是       ．
　　提示与答案：极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0．
　　5．在直角坐标系 中，已知圆心在原点 、半径为 的圆与△ 的边有公共点，
　　其中 、 、 ，则 的取值范围为                   ．
　　提示与答案：画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B．[855，10]．
　　6．设函数 的定义域为R，若 与 都是关于 的奇函数，则函数
　　在区间 上至少有            个零点.
　　提示与答案：f(2k-1)=0，k∈Z.  又可作一个函数 满足问题中的条件，且 的
　　一个零点恰为 ，k∈Z.  所以至少有50个零点.
　　7．从正方体的 条棱和 条面对角线中选出 条，使得其中任意
　　两条线段所在的直线都是异面直线，则 的最大值为         ．
　　提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．
　　8．圆环形手镯上等距地镶嵌着 颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中
　　镀 金 银的概率是                ．
　　提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 13 ．
　　9．在三棱锥 中，已知 ， 
　　，且 ．已知棱 的长为 ，则此棱锥的体积为               ．
　　提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ．
　　10．设复数列 满足 ， ，且 ．若对任意 N* 都有 ，
　　则 的值是                  ．