《等差数列》教案6

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　　《等差数列》教案
　　教学目标：
　　明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
　　教学重点：
　　等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.
　　教学难点：
　　灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
　　教学过程：
　　Ⅰ.复习回顾
　　等差数列定义：an－an－1＝d(n≥2)，等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d(n≥1)，推导公式：an＝am＋(n－m)d
　　Ⅱ.讲授新课
　　首先，请同学们来思考这样一个问题.
　　问题1：如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？
　　由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：A－a＝b－A，即：a＝a＋b2 .
　　反之，若A＝a＋b2 ，则2A＝a＋b，A－a＝b－A，即a、A、b成等差数列.
　　总之，A＝a＋b2  a，A，b成等差数列.
　　如果a、A、b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项.
　　不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.
　　如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.
　　进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？
　　比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5＝3＋72 ，同时还满足5＝1＋92 .
　　再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7＝5＋92 ＝3＋112 ＝1＋132 .
　　看来，a2＋a4＝a1＋a5＝2a3，a4＋a6＝a3＋a7＝2a5
　　依此类推，可得在一等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
　　下面，我们来看一个实际问题.
　　［例1］梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.
　　分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.
　　解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a1＝33，a12＝110，n＝12.
　　由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即：110＝33＋11d，解得：d＝7.
　　因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.
　　答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm.
　　评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解.