等差数列、等比数列的运算和性质

约4270字。

　　等差数列、等比数列的运算和性质
　　一、知识点梳理
　　1.等差数列
　　（1）定义：an+1－an=d(常数d为公差)；（2）通项公式：an=a1+(n－1)d
　　（3）前n项和公式：Sn= =na1+ d
　　（4）通项公式推广：an=am+(n－m)d
　　2.等差数列{an}的一些性质
　　（1）对于任意正整数n，都有an+1－an=a2－a1
　　（2）{an}的通项公式：an=（a2－a1）n+(2a1－a2)
　　（3）对于任意正整数p,q,r,s,如果p+q=r+s，则有ap+aq=ar+as
　　（4）对于任意正整数p,q,r,如果p+r=2q,则有ap+ar=2aq
　　（5）对于任意正整数n>1，有2an=an－1+an+1
　　（6）对于任意非零实数b，若数列{ban}是等差数列，则数列{an}也是等差数列
　　（7）已知数列{bn}是等差数列，则{an±bn}也是等差数列
　　（8）{a2n}，{a2n－1}，{a3n}，{a3n－1}，{a3n－2}等都是等差数列
　　（9）S3m=3（S2m－Sm）；                  （10）若Sn=Sm(m≠n)，则Sm+n=0
　　（11）若Sp=q,Sq=p，则Sp+q=－(p+q)(p≠q)； （12）Sn=an2+bn，反之亦成立
　　3.等比数列
　　⑴定义： =q(常数q为公比)；⑵通项公式：an=a1qn－1
　　⑶前n项和公式Sn= ，特别注意q=1时，Sn=na1这一特殊情况。
　　⑷通项公式推广：an=am•qn－m
　　4.等比数列{an}的一些性质
　　（1）对于任意正整数n，均有 =
　　（2）对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p+q=r+s，则ap•aq=ar•as
　　（3）对于任意正整数p、q、r，如果p+r=2q，则ap•ar=aq2
　　（4）对任意正整数n>1，有an2=an－1•an+1
　　（5）对于任意非零实数b,{ban}也是等比数列
　　（6）如果an>0，则{logaan}是等差数列
　　（7）数列{logaan}成等差数列，则an成等比数列
　　（8）{a2n}，{a2n－1}，{a3n－1}，{a3n－2}，{a3n}等都是等比数列
　　二、例题选讲
　　1．(★）三个数成等差数列，如果将最小数乘2，最大数加上7，所得三数之积为1000，且成等比数列，则原等差数列的公差一定是----------------------------------------------（ C ）
　　A.8     B.8或－15   C.± 8   D.±15
　　2．（★）首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差 的取值范围是-（ D ）
　　（A）         （B）                （C） ≤       （D） ≤3
　　3．（★）  （B）
　　（A）8         （B）9         （C）10          （D）11
　　4．（★) 已知 的前 项和 ，则 的值为---------（ A ）
　　（A）67           （B）65            （C）61            （D）56
　　5．（★★）等差数列{an}中，a10<0,a11>0，且|a10|<|a11|，Sn为其前n项之和，则-----( C )
　　A. S1,S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零
　　B. S1,S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零
　　C. S1,S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零
　　D. S1,S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零