《高中数学竞赛讲义（4）——几个初等函数的性质》教案

　　此资源为用户分享，在本站免费下载，只限于您用于个人教学研究。

　　约2100字 第四章  几个初等函数的性质
　　一、基础知识
　　1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a 1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0<a<1时，y=ax是减函数，当a>1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。
　　2  分数指数幂： 。
　　3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a 1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当0<a<1，y=logax为减函数，当a>1时，y=logax为增函数。
　　4．对数的性质（M>0, N>0）；
　　1）ax=M x=log¬aM(a>0, a 1)；
　　2）log¬a¬(MN)= log¬a M+ log¬a N；
　　3）log¬a（ ）= log¬a M- log¬a N；4）log¬a Mn=n log¬a M；，
　　5）log¬a  = log¬a M；6）alog¬a M=M; 7) log¬a b= (a,b,c>0, a, c 1).
　　5. 函数y=x+ （a>0）的单调递增区间是 和 ，单调递减区间为 和 。（请读者自己用定义证明）
　　6．连续函数的性质：若a<b, f(x)在[a, b]上连续，且f(a)•f(b)<0，则f(x)=0在（a,b）上至少有一个实根。
　　二、方法与例题
　　1．构造函数解题。
　　例1  已知a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1>0. 
　　例2  （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全为0的实数，b1, b2,…,bn∈R，则（ ）•（ ）≥( )2，等号当且仅当存在 R，使a¬i= , i=1, 2, …, n时成立。
　　例3  设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u= 的最小值。
　　2．指数和对数的运算技巧。
　　例4  设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求 的值。
　　例5  对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且 ，求证：a+b=c.
　　例6  已知x 1, ac 1, a 1, c 1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.
　　例7  解方程：3x+4 x +5 x =6 x.
　　例8  解方程组： （其中x, y∈R+）.
　　例9  已知a>0, a 1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。
　　三、基础训练题
　　1．命题p: “(log¬23)x-(log¬53)x≥(log¬23)-y-(log¬53)-y”是命题q:“x+y≥0”的_________条件。
　　2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，则x1+x2=_________.
　　3．已知f(x)是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则不等式|f-1(log2x)|<1的解集为_________。
　　4．若log2a <0，则a 取值范围是_________。