2019高考数学高分突破二轮复习练习：椭圆、双曲线、抛物线

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约11610字。

第2讲　椭圆、双曲线、抛物线
　　高考定位　1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.
　　真 题 感 悟
　　1.(2018•全国Ⅱ卷)双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为(　　)
　　A.y＝±2x  B.y＝±3x
　　C.y＝±22x  D.y＝±32x
　　解析　法一　由题意知，e＝ca＝3，所以c＝3a，所以b＝c2－a2＝2a，即ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x.
　　法二　由e＝ca＝1＋ba2＝3，得ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x.
　　答案　A
　　2.(2018•全国Ⅰ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→•FN→＝(　　)
　　A.5  B.6  C.7  D.8
　　解析　过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y＝23(x＋2)，由y＝23（x＋2），y2＝4x，得x2－5x＋4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以FM→＝(x1－1，y1)，FN→＝(x2－1，y2)，所以FM→•FN→＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4x1x2＝4－5＋1＋8＝8.
　　答案　D
　　3.(2018•全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
　　A.23  B.12  C.13  D.14
　　解析　由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
　　∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.
　　∵|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴，则∠PF2E＝60°，所以F2E＝c，PE＝3c，即点P(2c，3c).∵点P在过点A，且斜率为36的直线上，∴3c2c＋a＝36，解得ca＝14，∴e＝14.
　　答案　D
　　4.(2018•全国Ⅰ卷)设椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).
　　(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
　　(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
　　(1)解　由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.
　　把x＝1代入椭圆方程x22＋y2＝1，可得点A的坐标为1，22或1，－22.
　　又M(2，0)，所以AM的方程为y＝－22x＋2或y＝22x－2.
　　(2)证明　当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
　　当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，
　　所以∠OMA＝∠OMB.
　　当l与x轴不重合也不垂直时，
　　设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
　　则x1<2，x2<2，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝y1x1－2＋y2x2－2.
　　由y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)得
　　kMA＋kMB＝2kx1x2－3k（x1＋x2）＋4k（x1－2）（x2－2）.
　　将y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1得
　　(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
　　所以，x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－22k2＋1.
　　则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝4k3－4k－12k3＋8k3＋4k2k2＋1＝0.
　　从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补.