《平面向量的数量积》解答题训练卷

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共100道小题，约38290字。

向量之平面向量的数量积解答题
　　一、解答题
　　1．已知过点 且斜率为 的直线 与圆C:  交于 两点.
　　（1）求 的取值范围；
　　（2）若 ,(其中 为坐标原点)，求直线 的方程.
　　【答案】（1） ；（2） .
　　【解析】试题分析：（1）由题意可得，直线 的斜率存在，用点斜式求得直线 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得 的值，可得满足条件的 的范围；（2）设   代入 得 , 直线与曲线联立，根据韦达定理，弦长公式将 用  表示列方程，解出 的值 即可得结果.
　　试题解析：（1）设直线方程：  ，  得 ，  
　　（2）设   代入 得
　　= = ，得 ，直线 的方程为 .
　　2．已知 ，且存在实数k和t，使得  
　　且 ，试求 的最小值．
　　【答案】当 时，  有最小值
　　【解析】试题分析： 先根据向量数量积得 ,再根据向量数量积坐标表示得 代入可得 ,因此 ,最后根据二次函数性质求最小值
　　试题解析：解：∵
　　由 ，得
　　即
　　故当 时，  有最小值
　　3．已知向量 ，  ，设函数 .
　　（1）求函数 的最小正周期；
　　（2）已知 分别为三角形 的内角对应的三边长，  为锐角，  ，  ，且 恰是函数 在 上的最大值，求 和三角形 的面积.
　　【答案】（1） ；（2） ， 或 ，  或 .
　　【解析】试题分析：本题主要考查平面向量的数量积、二倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数、余弦定理、三角形面积等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、转化化归想象能力和数形结合能力．第一问，先利用向量的数量积得到 的解析式，利用降幂公式、倍角公式、两角和的正弦公式化简表达式，使之化简成 的形式，利用 求函数的周期；第二问，先将 代入得到 的范围，数形结合得到 的最大值，并求出此时的角A，在三角形中利用余弦定理得到边b的值，最后利用 求三角形面积.
　　试题解析：（1）  
　　4分
　　因为 ，所以最小正周期 . 6分
　　（2）由（1）知 ，当 时， .
　　由正弦函数图象可知，当 时，  取得最大值 ，又 为锐角
　　所以 . 8分
　　由余弦定理 得 ，所以 或
　　经检验均符合题意.        10分
　　从而当 时，△ 的面积 ； 11分
　　当 时， . 12分
　　考点：平面向量的数量积、二倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数、余弦定理、三角形面积.
　　4．已知圆 关于直线 对称的圆为 .
　　（1）求圆 的方程；
　　（2）过点 作直线 与圆 交于 两点，  是坐标原点，是否存在这样的直线 ，使得在平行四边形 中 ？若存在，求出所有满足条件的直线 的方程；若不存在，请说明理由.
　　【答案】（1） （2）存在直线 和
　　【解析】试题分析：（1）将圆的一般方程转化为标准方程，将圆关于直线对称问题转化为点关于直线对称问题，进而求出圆的方程；（2）先由条件判定四边形 为矩形，将问题转化为判定两直线垂直，利用平面向量是数量积为0进行求解.
　　试题解析：（1）圆 化为标准为 ，
　　设圆 的圆心 关于直线 的对称点为 ，则 ，
　　且 的中点 在直线 上，
　　所以有 ，
　　解得：  ，