2016年福建省高中数学竞赛暨2016年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷

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共15道小题，约2300字。

2016年福建省高中数学竞赛暨2016年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷
　　（考试时间：2016年5月22日上午9：00－11：30，满分160分）
　　一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
　　1．若函数 （ ）的最小正周期为 ，则 在区间 上的最大值为                。
　　【答案】  
　　【解答】∵  
　　，且 的最小正周期为 。
　　∴   ， 。又 时， ，
　　∴   ，即 时， 在区间 上取最大值 。
　　2．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围为                  。
　　【答案】  
　　【解答】 。由 ，得 。
　　∴   时， 。满足 。
　　时，由 ，得 ， 。满足 。
　　时，由 ，得 ， 。由满足 ，得 ， 。
　　综合得， 。 的取值范围为 。
　　3．函数 零点的个数为            。
　　【答案】  1
　　【解答】  ∵   。
　　时， ； 时， 。
　　∴   在区间 上为减函数，在区间 上为增函数。
　　又 时， ， ；
　　， 。
　　∴  函数 的零点个数为1。
　　或：作图考察函数 与 图像交点的个数。
　　4．如图，在正方体 中，二面角 的大小为          。
　　【答案】  
　　【解答】设正方体棱长为1。作 于 ，连结 。
　　由正方体的性质知， 。
　　∴   ，  为二面角 的平面角，且 ， 。
　　∴   。
　　∴  二面角 的大小为 。
　　或：设 、 交于点 ，由 ，得 。
　　5．在空间四边形 中，已知 ， ， ， ，则                 。
　　【答案】  7
　　【解答】 以 ， ， 为基底向量。则 。
　　∴   ，
　　即  。
　　∴   ，
　　∴   。
　　∴  
　　。
　　6．已知直线 过椭圆 ： 的左焦点 且交椭圆 于 、 两点。 为坐标原点，若 ，则点 到直线 的距离为               。
　　【答案】  
　　【解答】   。显然 轴不符合要求。设直线 方程为 。
　　由 ，得   ………… ①
　　①的判别式大于0。设 ， ，则 ， 。
　　由 ，得
　　。
　　∴   ， 。
　　∴  点 到直线 的距离为 。
　　7．已知 ，若关于 的方程 （ 为虚数单位）有实数根，则复数 的模 的最小值为                  。