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- 2016/5/15 13:55:26
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北师大版（文）2017版大一轮复习讲义（教案+课件）高考专题突破（8份打包）
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1．已知锐角α，且5α的终边上有一点P(sin(－50°)，cos 130°)，则α的值为( )
A．8° B．44°
C．26° D．40°
答案 B
解析 ∵sin (－50°)＜0，cos 130°＝－cos 50°＜0，
∴点P(sin(－50°)，cos 130°)在第三象限．
又∵0°＜α＜90°，∴0°＜5α＜450°.
又∵点P的坐标可化为(cos 220°，sin 220°)，
∴5α＝220°，∴α＝44°，故选B.
2．已知向量OB→＝(2,0)，向量OC→＝(2,2)，向量CA→＝(2cos α，2sin α)，则向量OA→与向量OB→的夹角的取值范围是( )
A.0，π4 B.π4，512π
C.512π，π2 D.π12，512π
答案 D
解析 由题意，得：OA→＝OC→＋CA→＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，所以点A的轨迹是圆(x－2)2＋(y－2)2＝2，如图，当A位于使向量OA→与圆相切时，向量OA→与向量OB→的夹角分别达到最大、最小值，故选D.
3．已知a，b是单位向量，a•b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )
A.2－1 B.2
C.2＋1 D.2＋2
答案 C
解析 建立平面直角坐标系，令向量a，b的坐标a＝(1,0)，b＝(0,1)，令向量c＝(x，y)，则有(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|的最大值为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1,1)到原点的距离加圆的半径，即2＋1.
4．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p＝(S，a＋b＋c)，q＝(a＋b－c,1)满足p∥q，则tan C2等于( )
A.14 B.12 C．2 D．4
答案 D
解析 ∵向量p＝(S，a＋b＋c)，q＝(a＋b－c,1)，由p∥q，得S＝(a＋b)2－c2＝2ab＋a2＋b2－c2，即12absin C＝2ab＋2abcos C，14sin C＝1＋cos C，∴sin C1＋cos C＝4.则tan C2＝sin C1＋cos C＝4.故选D.
5．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)为偶函数，其图像与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数的一个递增区间可以是( )
A.－π2，－π4 B.－π4，π4
C.0，π2 D.π4，3π4
答案 A
解析 由函数为偶函数知φ＝π2＋kπ(k∈Z)．又因为0＜φ＜π，所以φ＝π2，所以y＝2cos ωx.由题意知函数的最小正周期为π，故ω＝2，所以y＝2cos 2x，经验证知选项A满足条件．故选A.
题型一 三角函数的图像与性质
例1 已知函数f(x)＝cos x•sinx＋π3－3cos2 x＋34，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．
解 (1)由已知，得
f(x)＝cos x12sin x＋32cos x－3cos2x＋34
＝12sin xcos x－32cos2x＋34
＝14sin 2x－34(1＋cos 2x)＋34
1.若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则( )
A.3f(1)<f(3) B.3f(1)>f(3)
C.3f(1)＝f(3) D.f(1)＝f(3)
答案 B
解析 由于f(x)>xf′(x)，则f(x)x′＝f′(x)x－f(x)x2<0恒成立，因此f(x)x在R上是单调递减函数，
∴f(3)3<f(1)1，即3f(1)>f(3).故选B.
2.若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( )
A.(－∞，－2] B.(－∞，－1]
C.[2，＋∞) D.[1，＋∞)
答案 D
解析 由于f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立.
由于k≥1x，而0<1x<1，所以k≥1.
即k的取值范围为[1，＋∞).
3.函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.无数个
答案 A
解析 函数定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝6x＋1x－2＝6x2－2x＋1x，
由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1中Δ＝－20<0，
所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立，
即f(x)在定义域上单调递增，无极值点.
4.(2015•课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
答案 1
解析 f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.
(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1).
将(2,7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝1＋3a，
解得a＝1.
5.设函数f(x)＝e2x2＋1x，g(x)＝e2xex，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式g(x1)k≤f(x2)k＋1恒成立，则正数k的取值范围是________.
答案 [1，＋∞)
解析 因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，
不等式g(x1)k≤f(x2)k＋1恒成立，所以kk＋1≥g(x1)maxf(x2)min.
因为g(x)＝e2xex，
所以g′(x)＝e2－x(1－x).
当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减.
所以当x＝1时，g(x)取到最大值，即g(x)max＝g(1)＝e.
又f(x)＝e2x＋1x≥2e(x>0).
当且仅当e2x＝1x，即x＝1e时取等号，故f(x)min＝2e.
所以g(x1)maxf(x2)min＝e2e＝12，应有kk＋1≥12，
又k>0，所以k≥1.
题型一 利用导数研究函数性质
例1 (2015•课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.
若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
若a＞0，则当x∈0，1a时，f′(x)＞0；当x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0.所以f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减.
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