江西省宜春三中2016届高考复习理科数学专题汇编：三角函数

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数    学
　　三角函数                                 
　　角的概念及任意角的三角函数
　　1. 如图1­1，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　)
　　图1­1
　　A　 　　　 　　　　　B
　　C　 　　　　　　　　D
　　C　[解析] 根据三角函数的定义，点M(cos x，0)，△OPM的面积为12|sin xcos x|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f(x)＝|sin xcos x|＝12|sin 2x|，且当x＝π2时上述关系也成立， 故函数f(x)的图像为选项C中的图像．
　　同角三角函数的基本关系式与诱导公式
　　2.已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－12.
　　(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f(α)的值；
　　(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
　　解：方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.
　　所以f(α)＝22×22＋22－12
　　＝12.
　　(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12
　　＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12
　　＝12sin 2x＋12cos 2x
　　＝22sin2x＋π4，
　　所以T＝2π2＝π.
　　由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，
　　得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.
　　所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.
　　方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12
　　＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12
　　＝12sin 2x＋12cos 2x
　　＝22sin2x＋π4.
　　(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，
　　从而f(α)＝22sin2α＋π4＝22sin3π4＝12.
　　(2)T＝2π2＝π.
　　由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈π－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.
　　所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.
　　3. 已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
　　(1)求ω和φ的值；
　　(2)若fα2＝34π6<α<2π3，求cosα＋3π2的值．
　　解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.
　　又因为f(x)的图像关于直线x＝π3对称，
　　所以2×π3＋φ＝kπ＋π2，k＝0，±1，±2，….
　　因为－π2≤φ＜π2，