《三角函数》训练题

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共18道小题，约2080字。

第一章《三角函数》　1.1　第1课时
　　一、选择题
　　1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝(　　)
　　A．15 B．59
　　C．53 D．1
　　[答案]　B
　　[解析]　本题考查了正弦定理，由asinA＝bsinB知313＝5sinB，即sinB＝59，选B．
　　2．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是(　　)
　　A．等腰三角形 B．等边三角形
　　C．直角三角形 D．等腰直角三角形
　　[答案]　A
　　[解析]　由正弦定理得：acosB＝bcosA⇒sinAcosB＝sinBcosA⇒sin(A－B)＝0，
　　由于－π<A－B<π，故必有A－B＝0，即△ABC为等腰三角形．
　　3．在△ABC中，下列关系式中一定成立的是(　　)
　　A．a>bsinA B．a＝bsinA
　　C．a<bsinA D．a≥bsinA
　　[答案]　D
　　[解析]　由正弦定理，得asinA＝bsinB，∴a＝bsinAsinB，
　　在△ABC中，0<sinB≤1，故1sinB≥1，∴a≥bsinA．
　　4．△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是(　　)
　　A．一解 B．两解
　　C．无解 D．无法确定
　　[答案]　B
　　[解析]　∵b＝30，c＝15，C＝26°，
　　∴c＝bsin30°>bsinC，又c<b，如图，
　　∴此三角形有两解．
　　5．已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝3，则sinA＝(　　)
　　A．32 B．12
　　C．34 D．3
　　[答案]　A
　　[解析]　由已知，得32＝12×2×3×sinA，
　　∴sinA＝32.
　　6．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)
　　A．x>2 B．x<2
　　C．2<x<22 D．2<x<23
　　[答案]　C
　　[解析]　由题设条件可知x>2xsin45°<2，∴2<x<22.
　　二、填空题
　　7．已知△ABC外接圆半径是2 cm，∠A＝60°，则BC边长为__________．
　　[答案]　23cm
　　[解析]　∵BCsinA＝2R，
　　∴BC＝2RsinA＝4sin60°＝23(cm)．
　　8．在△ABC中，已知a＝23，b＝2，A＝60°，则B＝________.
　　[答案]　30°
　　[解析]　由正弦定理，得sinB＝b×sinAa＝2×sin60°23＝12.
　　∵0°<B<180°，∴B＝30°，或B＝150°.
　　∵b<a，根据三角形中大边对大角可知B<A，∴B＝150°不符合条件，应舍去，∴B＝30°.
　　[易错警示]　1.由sinB＝12得B＝30°，或150°，而忽视b＝2<a＝23，从而易出错．
　　2．在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍．
　　三、解答题
　　9．(2015•山东文，17)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B＝33，sin (A＋B)＝69，ac＝23，求sin A和c的值．
　　[解析]　在△ABC中，由cos B＝33，得sin B＝63.
　　因为A＋B＋C＝π，
　　所以sin C＝sin(A＋B)＝69.
　　因为sin C＜sin B，所以C＜B，所以C为锐角，所以cos C＝539，
　　因此sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝
　　63×539＋33×69＝223.
　　由asin A＝csin C，可得a＝c sin Asin C＝223c69＝23c，
　　又ac＝23，所以c＝1.
　　10．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．
　　[解析]　∵A、B、C是三角形的内角，
　　∴A＝π－(B＋C)，
　　∴sinA＝sin(B＋C)