山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高三数学一轮复习专项训练：基本不等式

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约5060字。

考点：利用基本不等式求最值
　　1、(2013•山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为 (　　)．
　　A．0  B．1 
　　C.94  D．3
　　解析　(1)由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2，
　　∴xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3.
　　又x，y，z为正实数，∴xy＋4yx≥4，
　　当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝2y2.
　　∴2x＋1y－2z＝22y＋1y－22y2＝－1y2＋2y
　　＝－1y－12＋1，当1y＝1，即y＝1时，上式有最大值1.
　　答案：B
　　2、已知2x＋2y＝1，(x＞0，y＞0)，则x＋y的最小值为 (　　)．
　　A．1  B．2 
　　C．4  D．8
　　解析：∵x＞0，y＞0，∴x＋y＝(x＋y)•2x＋2y＝
　　4＋2xy＋yx≥4＋4xy•yx＝8.
　　当且仅当xy＝yx，即x＝y＝4时取等号．
　　答案：D
　　3、(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是 (　　)．
　　A.245  B.285 
　　C．5  D．6
　　(2)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是 (　　)．
　　A.43  B.53 
　　C．2  D.54
　　解析　(1)由x＋3y＝5xy可得15y＋35x＝1，
　　∴3x＋4y＝(3x＋4y)15y＋35x＝95＋45＋3x5y＋12y5x≥135＋125＝5(当且仅当3x5y＝12y5x，即x＝1，y＝12时，等号成立)，
　　∴3x＋4y的最小值是5.
　　(2)由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.
　　答案　(1)C　(2)C
　　4、设x，y均为正实数，且32＋x＋32＋y＝1，则xy的最小值为 (　　)．
　　A．4  B．43 
　　C．9  D．16
　　解析　由32＋x＋32＋y＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.
　　答案　D
　　5．(2014•泰安一模)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)．
　　A．a＋b≥2ab     B.1a＋1b＞2ab
　　C.ba＋ab≥2         D．a2＋b2＞2ab
　　解析　因为ab＞0，即ba＞0，ab＞0，所以ba＋ab≥2ba×ab＝2.
　　答案　C
　　6、设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则1a＋1b的最小值是(　　)．
　　A．2  B.14  C．4  D．8
　　解析　由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.
　　答案　C
　　7．已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋1a，n＝a＋1b，则m＋n的最小值是(　　)．
　　A．3  B．4  C．5  D．6
　　解析　由题意知：ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b，n＝a＋1b＝2a，
　　∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4.
　　答案　B
　　8．已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝(　　)．
　　A．－3      B．2       C．3      D．8
　　解析　y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2x＋1×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
　　答案　C
　　9．若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)•(1＋b)的最小值为________．
　　解析　(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号．
　　答案　9
　　10．已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为______．
　　解析　∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝