山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高三数学一轮复习专项训练：等比数列

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约3660字。

考点一　等比数列的判定与证明
　　1、设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n，设bn＝an＋3.
　　求证：数列{bn}是等比数列，并求an.
　　证明　由Sn＝2an－3n对于任意的正整数都成立，
　　得Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，
　　两式相减，得Sn＋1－Sn＝2an＋1－3(n＋1)－2an＋3n，
　　所以an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝2an＋3，
　　所以an＋1＋3＝2(an＋3)，即bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2对一切正整数都成立，所以数列{bn}是等比数列．
　　由已知得：S1＝2a1－3，即a1＝2a1－3，所以a1＝3，
　　所以b1＝a1＋3＝6，即bn＝6•2n－1.
　　故an＝6•2n－1－3＝3•2n－3.
　　考点二　等比数列基本量的求解
　　1、(2013•湖北卷)已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.
　　(1)求数列{an}的通项公式；
　　(2)是否存在正整数m，使得1a1＋1a2＋…＋1am≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．
　　解　(1)设等比数列{an}的公比为q，
　　则由已知可得a31q3＝125，|a1q－a1q2|＝10，
　　解得a1＝53，q＝3或a1＝－5，q＝－1.
　　故an＝53•3n－1或an＝－5•(－1)n－1.
　　(2)若an＝53•3n－1，则1an＝3513n－1，
　　则1an是首项为35，公比为13的等比数列．
　　从而 1an＝351－13m1－13＝910•1－13m<910<1.
　　若an＝－5•(－1)n－1，则1an＝－15(－1)n－1，
　　故1an是首项为－15，公比为－1的等比数列，
　　从而 1an＝－15，m＝2k－1k∈N*，0，m＝2k  k∈N*，
　　故 1an<1.
　　综上，对任何正整数m，总有 1an<1.
　　故不存在正整数m，使得1a1＋1a2＋…＋1an≥1成立．
　　2、(1)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列1an的前5项和为________．
　　(2)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________.
　　解析　(1)显然公比q≠1，由题意可知91－q31－q＝1－q61－q，解得q＝2，则数列1an是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得数列1an的前5项和T5＝3116.
　　(2)显然公比q≠1，由题意得a1q•a1q3＝1，a11－q31－q＝7，
　　解得a1＝4，q＝12或a1＝9，q＝－13(舍去)，
　　∴S5＝a11－q51－q＝41－1251－12＝314.
　　答案　(1)3116　(2)314
　　3．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，n∈N*，则 (　　)．
　　A．{an}是递增的等比数列