2015年全国高中数学联赛福建省预赛试题

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共15道小题，约2740字。

2015年全国高中数学联赛福建预赛试题
　　暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
　　（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）
　　一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
　　1．设集合 ，从集合 中随机抽取一个元素 ，记 ，则随机变量 的数学期望                  。
　　【答案】  5
　　【解答】 ，随机变量 的取值为0，1，4，9，16。
　　易得， 的概率分布列为
　　0 1 4 9 16
　　∴   。
　　2．已知 ，其中 是定义在 上，最小正周期为2的函数。若 在区间 上的最大值为1，则 在区间 上的最大值为                     。
　　【答案】  9
　　【解答】依题意，有 。
　　∵   在区间 上的最大值为1，
　　∴   在区间 上的最大值为3，在区间 上的最大值为5，在区间 上的最大值为7，在区间 上的最大值为9。
　　3． 、 为椭圆 ： （ ）的左、右焦点，若椭圆 上存在一点 ，使得 ，则椭圆离心率 的取值范围为            。
　　【答案】
　　【解答】设 为椭圆 的上顶点，依题意有 。
　　∴   ， 。 ， ， 。
　　4．已知实数 ， ， 满足 ，则 的最小值为             。
　　【答案】  
　　【解答】由柯西不等式，知
　　。
　　∴   ，当且仅当 ，即 时等号成立。
　　∴   的最小值为 。
　　5．已知函数 ，数列 中， （ ），则数列 的前100项之和               。
　　【答案】  
　　【解答】依题意，有
　　。
　　∴   。
　　6．如图，在四面体 中， ， ， ，且 与平面 所成角的余弦值为 。则该四面体外接球半径                。版权所有
　　【答案】