绝对值方程解法教学浅见

约2440字。

　　绝对值方程解法教学浅见
　　颍上县耿棚中学   成娟
　　【摘要】：解绝对值方程是我们中学知识学习的一个难点，在解这类问题是可将每项结果看成零，所得值有小到大按顺序排列，在实数范围内进行分区间讨论 ，最后由验根得出原方程的解。
　　【关键词】：绝对值  区间  方程的解  排列顺序
　　在数学课本或教学参考中，经常见到绝对值方程的练习题，但这类练习题的解法教材中讲解的很少，初学者往往感到无从下手，凑巧找出答案，也无法检验答案是否正确，尤其当绝对值的项数增多时，解题更觉困难，现把较简单的绝对值方程的解法介绍如下，供教学时参考。
　　我们先丛具体的例子入手，观察含三项绝对值的方程
　　︳2ｘ＋1 ︳＋︳ｘ＋3 ︳－︳ｘ－1 ︳=3……（1）求这个绝对值方程的解。
　　应用分区间讨论的方法，先设每项绝对值的内部为零，即    
　　2ｘ＋1=0，ｘ＋3=0，ｘ－1=0 
　　解得ｘ＝-0．5，ｘ=-3，ｘ=1。
　　ｘ按有小到大的顺序排列得
　　ｘ=-3，ｘ＝-0．5，ｘ=1。再把方程（1）依上述ｘ的顺序排列得
　　︳ｘ＋3 ︳＋︳2ｘ＋1 ︳－︳ｘ－1︳=3……（2）
　　这样，ｘ＝-0．5，ｘ=-3，ｘ=1把实数分成四个区间，分别讨论如下：
　　当ｘ∈（－∞，－3］时，由绝对值的定义，方程（2）成为
　　－（ｘ＋3）－（2ｘ＋1）＋（ｘ－1）=3
　　－ｘ－3－2ｘ－1＋ｘ－1=3
　　－2ｘ=8     ∴ｘ=－4
　　∵－4在区间（－∞，－3］内，
　　∴－4是方程（1）的解；
　　当ｘ∈［－3，－0．5］时，方程（2）成为
　　（ｘ＋3）－（2ｘ＋1）＋（ｘ－1）=3
　　ｘ＋3－2ｘ－1＋ｘ－1=3
　　1=3   ∴方程（1）无解；
　　当ｘ∈［－0．5，1］是，方程（2）成为
　　（ｘ＋3）＋（2ｘ＋1）＋（ｘ－1）=3
　　ｘ＋3＋2ｘ＋1＋ｘ－1=3
　　4ｘ=0   ∴ｘ=0
　　∵0在区间［－0．5，1］内，∴0是方程（1）的解；
　　当ｘ∈［1，＋∞）时，方程（2）成为
　　（ｘ＋3）＋（2ｘ＋1）－（ｘ－1）=3
　　ｘ＋3＋2ｘ＋1－ｘ＋1=3
　　2ｘ=－2，    ∴ｘ=－1
　　∵－1不在区间［1，＋∞）内，∴－1不是方程（1）的解。综上所述，方程（1）的解是ｘ=－4或ｘ=0。
　　通过上例，总结出解一元一次绝对值方程的步骤如下：
　　1． 设方程的每项绝对值内部为零，解得一组ｘ值；
　　2．把这组ｘ值按有小到大的顺序排列，方程的每项绝对值亦依上述ｘ的顺序排列；
　　3．由这组ｘ值，把实数分成若干个区间，根据这些区间分别讨论原方程，并求得每个区间所得方程的解
　　4．验根：每个区间内求得方程的解，恰好在这个区间内，所得的解是原方程的解，不在这个区间内，所得的解不是原方程的解；如果区间内的方程无解，则原方程亦无解。
　　最后说明一下，用分区间的方法来求绝对值方程，是在整个实数的区间内进行讨论的，因