数列求和的方法

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　　数列求和的方法
　　摘要：数列是高中数学的重点内容之一，而数列求和又是数列的重要内容，是历年高考考察的重点。在这里笔者对数列求和的一些常用的方法举例进行了分析、小结，以期达到熟练求和的效果。
　　关键词：数列   求和    方法
　　数列是高中数学的重点内容之一，而数列求和又是数列的重要内容，是历年高考考察的重点。在这里笔者对数列求和的一些常用的方法举例进行了分析、小结，以期达到熟练求和的效果。
　　1、公式法：
　　如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.
　　①等差数列求和公式：
　　②等比数列求和公式：
　　针对训练1、已知等差数列 的通项公式为 ，求它的前n项和公式.
　　针对训练2、求等比数列 的前8项的和.
　　2、倒序相加法：
　　类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列 ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.
　　例1、 已知函数
　　（1）证明： ；
　　（2）求 的值.
　　解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
　　（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，
　　两式相加得：
　　所以 .
　　小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.
　　针对训练3、求值：
　　3、错位相减法：
　　类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差•比”数列，则采用错位相减法.
　　若 ，其中 是等差数列， 是公比为 等比数列，令
　　则      
　　两式相减并整理即得
　　例2、（2008年全国Ⅰ第19题第（2）小题，满分6分）
　　已知  ，求数列｛an｝的前n项和Sn.
　　解：     ①
　　②
　　②—①得
　　小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列 的公比 ；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.
　　针对训练4、求和：
　　4、裂项相消法：
　　把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似 （其中 是各项不为零的等差数列，