浅谈特征根法在求递推数列通项中的运用

约1790字。

　　浅谈特征根法在求递推数列通项中的运用
　　高三数学组   徐朝生
　　以往浙江每年高考理科数学都会考数列，而且往往以压轴题出现，难度都比较大， 09年浙江高考理科没有考数列大题，文科考了等差数列，题目相对简单，但在全国其它省市中（如安徽、山东、广东、宁夏、海南、天津、江西等）经常考数列大题，题目有难有易，比如广东和江西的较难。而各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如：
　　（08年广东高考）设p、q为实数，α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根，数列{xn}满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……)
　　1）……………
　　2）求数列{xn}的通项公式。
　　3）若 ， ，求数列{xn}的前n项的和sn
　　(09年江西高考)各项均为正数的数列  中 ，  ，
　　1）当  。
　　像上述两道题，如果不能顺利求出数列的通项公式，就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字——遗憾。本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一——特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。
　　类型一、递推公式为 （其中p，q均为非零常数）。
　　先把原递推公式转化为 ，其中 满足 ，显然 是方程 的两个非零根。
　　1） 如果 ，则 ， 成等比，很容易求通项公式。
　　2） 如果 ，则{ }成等比。公比为 ，
　　所以 ，转化成：
　　，
　　( I )又如果 ，则{ }等差，公差为 ，
　　所以 ，
　　即：
　　可以整理成通式：
　　Ii)如果 ，则令 ， ， ,就有
　　，利用待定系数法可以求出 的通项公式
　　所以 ，化简整理得：
　　，
　　小结特征根法：对于由递推公式 ， 给出的数列 ，方程 ，叫做数列 的特征方程。若 是特征方程的两个根，当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）；当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）。
　　简例应用（特征根法）：数列 ： ，  的特征方程是：  ,
　　。又由 ，于是 故
　　下面再看特征根法在08年广东高考题中的应用：