“活”出精彩——例谈活用空间向量求空间角和距离

约3120字。

　　“活” 出  精  彩
　　——例谈活用空间向量求空间角和距离
　　杭州余杭实验中学    金东明    311100
　　摘要：新教材中空间向量的相关知识，提供了解决空间图形问题的新方法、新思想，“以算代证”、“以值定形”的新理念激发了学生对空间图形问题的学习兴趣，降低了对空间想象能力和推理论证能力的要求，还减轻了学生对空间问题的畏惧感。本文以近几年高考中涉及的空间图形问题为背景，分析空间向量解决空间角和距离问题的通性通法，关键是空间向量的活学活用。
　　关键词：空间向量   空间角    距离  异面直线  代数化
　　纵观近几年浙江省高考中空间图形问题考查的要点可以归纳为七个字“平行垂直角距离”，平行垂直主要涉及证明的考察，角和距离主要突出空间计算的考查。问题的设计通常会把证明和计算融合在一个几何载体之中，对学生的空间想象能力和推理论证能力提出了较高的要求，多数学生由于空间想象能力的不足和推理论证能力的匮乏而束手无策，如何克服对空间图形的畏惧心理，激发学生对几何的学习兴趣？
　　新教材增加了空间向量的相关知识，“以算代证”，“以值定形”的基本思路为空间角和距离问题的解决提供了简单易行的方法，在新教材的教学中强化运用空间向量方法解决空间图形问题的意识，着重培养学生应用代数方法解决几何问题的能力。
　　一、利用空间向量求线线角、线面角、二面角
　　引理1：如图，设 是两条异面直线， 是 上的任意两点， 是直线 上的任意两点，则 所成的角的余弦值为 .
　　分析1：空间两条两直线所成角问题一直都是高考考查的热点，这些考题对于考生的空间想象能力要求比较高，特别是一些省市高考命题越来越精彩，常用的平移法显得难度较大，有些时候还用到比较复杂的空间补形，给学生的解题带来一定的难度和挑战。通过建立适当的空间直角坐标系，给出两条直线的方向向量，利用向量的夹角公式就可以直接求得两条直线的方向向量夹角的余弦值。
　　引理2：如图，设 是平面 的斜线，且 是斜线 在平面 内的
　　射影，则斜线 与平面 所成的角余弦值为