分段函数问题分类解析面面观

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　　分段函数问题分类解析面面观
　　湖南祁东育贤中学   周友良   421600
　　湖南省祁东县洪桥镇一中 徐秋蓉
　　中学数学里出现的函数，大多数都是由一个解析式表达的．但有的函数，有时要用几个解析式联合表达：在定义域的不同区间上有不同的表达式．此即分段表达的函数，简称分段函数．
　　定义 凡是把函数的定义域分成几个区间,在各个区间内,函数的解析式不一样的，这样的函数称为分段函数.
　　如      是一个分段函数.
　　分段函数表示的是一个函数,而不是几个函数.分段函数一般不是初等函数.
　　一． 作分段函数的图象。
　　例1．作出下列函数的图象(1 )；(2) 
　　分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．
　　解：(1)当 时，即 时，
　　当 时，即 时，
　　即
　　这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)
　　(2)当 时， ， = ；
　　当 时， ， =
　　所以
　　这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7)
　　说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象．
　　例２．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
　　（1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；
　　（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．
　　已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
　　分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．