《柯西不等式》练习题

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共26题，约2060字。

　　柯西不等式

　　一、二维形式的柯西不等式
　　二、二维形式的柯西不等式的变式
　　三、二维形式的柯西不等式的向量形式
　　借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
　　基本方法
　　（1）巧拆常数：
　　例1：设 、 、 为正数且各不相等。求证：
　　（2）重新安排某些项的次序：
　　例2： 、 为非负数， + =1， 求证：
　　（3）改变结构：
　　例3、若 > >   求证：
　　（4）添项：
　　例4： 求证：
　　【1】、设 ，则 之最小值为________；此时 ________。
　　答案：18;   解析：  ∴  ∴
　　之最小值为18，此时
　　【2】 设  (1，0， 2)，  (x，y，z)，若x2  y2  z2  16，则  的最大值为　　　　　。
　　【解】∵　  (1，0， 2)，  (x，y，z)　∴　 ．  x  2z
　　由柯西不等式[12  0  ( 2)2](x2  y2  z2)  (x  0  2z)2
　　　5  16  (x  2z)2　　 4  x  4
　　　 4   ．   4 ，故 ． 的最大值为4
　　【3】空间二向量 ， ，已知 ，则(1) 的最大值为多少？(2)此时 ？
　　Ans：(1) 28：(2) (2,4,6)
　　【4】设a、b、c为正数，求 的最小值。Ans：1