数形结合的思想方法在解题中的运用

约1420字。

　　数形结合的思想方法在解题中的运用
　　彭泽二中    高长英
　　数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来解决问题的一种重要的数学解题方法，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路。数形结合应用的两种主要方面：一方面是以数的精确性来阐明形的一些特征。如应用曲线的方程可以阐明曲线的几何性质。另一方面是以形助数的解题方法，也是数学中最多运用的方面。其实质就是对图形性质的研究，使要解决的数的问题转化为形的讨论，实现“由一种代数形式转化为几何形式”的数学化归。如一些函数的最值，向量的模与夹角，不等式中比较大小等问题。下面就几个方面来具体地谈谈。
　　一、解决集合问题   主要有求集合的交集或不等式的解集是借助数轴来解题，另外还有求集合的元素个数，利用文氏图。下面举一个例子。
　　[例1]50名学生参加A、B两门课外学习小组。报名参加A组的是全体学生数的五分之三，报名参加B组的人数比参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名参加两组人数的三分之一多一人。求同时报名参加A、B两组的人数和两组都没有报名的人数。
　　分析：此题是求集合元素的个数问题，只要求得集合与集合的交集则题目得解，于是可借助文氏图来求。
　　图（1）
　　解：设 的元素为 个，则有 ，解得   。  那么符合条件的报名人数为8人。
　　二、解决方程根的问题   这类问题一般用代数方法是解答不了的。例如：
　　[例2]方程 的根有        （     ）
　　（A）0个       （B）1个     （C）3个     （D）无数多个
　　分析：分别作出 与 的图象，由图形作出判断。
　　图（2）
　　解：在同一坐标系中作出函数 与 的图象，则此题转化成求函数 与 的图象上具有相同的点个数问题。