“木板钻孔”的启示——谈几何证明题的分析

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约4550字。

　　“木板钻孔”的启示
　　——谈几何证明题的分析
　　几何证明一直是困扰学生的一大难题，教会学生“怎么做”很简单，只要教师会做就行；教会学生“怎么想”就不那么容易了，学生也只有学会了“怎么想”，才能够“青出于蓝而胜于蓝”。因此，告诉学生“怎么想到这么做的”是数学教师的一个基本技能，笔者就多年的教学实践谈谈几何证明题的分析。
　　木板钻孔实验   器材：一块木板；工具：一把小锥子；要求：给木板钻孔并总结方法。结论：先在一面钻，有困难了，把木板翻过来，选准位置再钻，还有困难，再把木板翻过来钻，直至把木板掏通。
　　证明题就相当于在已知与求证之间形成的无形木板，证明过程也就是用工具（定义、定理）把它打通（找到从已知到结论的因果关系）的过程。先从题设出发，看看由条件能得到什么；再从结论出发，看看要证明这个结论就是要证明什么，还有什么条件没有考虑到，与结论有什么关系。如此反复，最终找到二者的切合点，这就是分析的一般思路，也就是通常所说的“两头凑”。
　　1  “熟悉工具”——分析的前提 
　　要给木板钻孔必须先熟悉工具的性能和使用方法。同样，要学会分析，就必须掌握定义、定理的特征及适用环境，这是学会分析的前提。
　　掌握定理不等于就会应用定理。要能够应用定理必须明确定理的条件特征、结论特征、图形特征，只有明确了不同定理的各自特征，才能在分析问题时有的放矢，突破难关。
　　人教版初中教材中三个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理、直角三角形中300所对的直角边等于斜边的一半，都有相同的结论特征，因此涉及到有关线段的几倍问题就常常要考虑这三个定理，但究竟用哪个定理还要结合题目看图形特征和条件特征。
　　角平分线的性质定理、等腰三角形的“三线合一”定理……，这些定理学生老绕弯子，常常不能自觉使用，而是再证明，原因在哪里？这些定理的题设往往是几个条件，只要让学生注意到这样的组合条件特征，稍加留意，还是能直接运用的。平常可以要求学生养成把条件标在图中的习惯，更容易看出组合条件。
　　证明两条线段相等的方法有多种，但是不同的方法都有不同的图形特征。如果两条线段有公共端点，“等角对等边”是首选；如果两条线段分别在不同的三角形中，全等三角形是常用的工具；如果两条线段是某个四边形的对角线我们就应该考虑运用矩形的性质。看看湖南2009年的一道中考题，如图1，△ABC中，AB=AC,  AD、AE分别∠BAC是和∠BAC外角的平分线，CE⊥AE.求证：(1)DA⊥AE.(2)试判断AC与DE是否相等？并证明你的结论。只要学生明确了矩形对角线相等的图形特征，想到应用矩形对角线相等解决这个问题应该是很自然的。
　　图1
　　2  “运用工具”——分析的方法
　　要给木板钻孔，必须会运用工具，变换手段，排除障碍。要学会分析，必须能克服困难，不断变换分析的角度和方法。
　　2.1 “借果索路” ————逆向思维的分析方法
　　问题的结论正是我们要证明的内容，显然是不可以作为条件应用的，但是当我们的分析无法继续进行的时候，我们可以借助结论来探寻分析的思路，也就是假设结论成立，看看能得到什么等价结论，通过分析等价结论探索到解题的思路。
　　在和学生分析证明“对角线相等的平行四边形是矩形”的时候，普遍的障碍就是想不到通过证明两个角相等来证明直角，老师在和学生分析的时候可以借助要证明的∠ABC是直角，提出这样一个问题，如果∠ABC是直角（图2），你能得到什么结论（∠DCB=900，从而∠ABC=∠DCB）？那么如果能证明了∠ABC=∠DCB，能不能证明∠ABC是直角呢？这样学生就可以想到通过证明两个角相等来证明直角。在这里就是把要证明一个直角转化为证明一个与之等价的∠ABC=∠ACB，从而分析可以继续进行。在遇到各种证明比较困难的时候，可以尝试这样的“借果索路”法。