“悖论”，使我“挂了黑板”

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约2040字。
　　“悖论”，使我“挂了黑板”
　　江都市小纪中学　　陈余权
　　数学中的悖论，本意是指：某一个推理过程看起来似乎是合理的，但却由它得到了有悖于事物本真的结论。 这种结论或推理过程，因其“道貌岸然”之态，往往收“浅花乱欲迷人眼”之效，常常使我们对问题的理解处于矛盾的两难境地。然而也正是这样的两难境地，它一方面激发了学生的求知欲望，将学生置于了“愤悱”状态；另一方面也激活了教师深挖问题内涵，寻求事物本真的欲望。更重要的是，这样一种无法预约的“美丽”，使得我们的课堂动态生成，波澜起伏。课堂因为师生对悖论问题的互动而鲜活，师生因为对事物本质规律的孜孜以求而“相长”。 
　　笔者就曾经邂逅过这种“美丽的错误”，甚至因为不能立即给予解释而当场“挂了黑板”。 
　　一  “悖论”的产生
　　那是一节复习讲评课，我和同学们经历了下面一道习题的解决过程。 
　　题目：如图⑴，正方形ABCD中，AB=6，用一块含45°角的三角板，把45°角的顶点放在D点，将三角板绕着点D旋转，使这个45°角的两边与线段AB、BC分别相交于点E、F（点E与点A、B不重合）。
　　求：当△BEF的面积为8时，EF的长. 
　　图⑴                               图⑵
　　解：∵AD=CD，∠A=90°∠ADC=90°
　　∴可将△ADE以点D为旋转中心旋转到△DCG的位置，显然B、C、G共线，∠1=∠3（如图⑵）
　　∵∠4=45°，∴∠2+∠3=∠1+∠3=45°=∠4
　　又∵DF=DF，DE=DG，∴△EDF≌△GDF，∴EF=FG
　　至此，学生中出现了三种不同的解法. 
　　方法⑴：
　　令AE=x，则BE=6-x，CF=y，BF=6-y，EF=FG=x+y，在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
　　即：（6-x）2 +（6-y）2=（x+y）2，
　　化简得xy + 6y+6x-36=0              ………………………①
　　S△BEF  = （6-x）(6-y)=8            ………………………②
　　即xy - 6y- 6x + 20 = 0                 ………………………③
　　将①、③中的x+y与xy分别看作整体，求得x+y=，即EF=
　　方法⑵：
　　前面的步骤同方法⑴，
　　由①得，代入②得3x2-14x+24=0，∵△＜0，方程无实数根，故不存在EF，使得S△BEF=8. 
　　方法⑶：
　　S△BEF =S正方形ABCD―（S△ADE +S△DEF+ S△CDF）
　　= S正方形ABCD―（S△DEF+ S△DFG）
　　= S正方形ABCD―2S△DFG 
　　=6×6－2×DC·FG
　　=36―DC·EF
　　=36―6EF=8，∴EF=
　　这三种方法，方法⑶最为简洁，与方法⑴答案相同，但方法⑵从另一个角度出发，得到了一个与方法⑴、⑶矛盾的结论。 两者的推理过程看起来似乎都是合理的、无懈可击的，然而两者又是相悖的、矛盾的。孰对?孰错?笔者尴尬地站在讲台前，脸涨得通红，思绪仿佛像断了线的风筝……学生制造的“悖论”，让笔者当场“挂了黑板”。好在这节课快要下了，草草收场的我一时无法解释，只好将问题又抛给了学生，让他们课后去认真思考、讨论。