九年级数学竞赛专题讲座——二次函数的最值问题教案

约1740字。

　　九年级数学竞赛专题讲座——二次函数的最值问题教案
　　一、内容概述
　　对二次函数 ，若自变量为任意实数，则取最值情况为：
　　（1）当 时，
　　（2）当 时， 
　　若自变量 的取值范围为 ，则取最值分 和 两种情况，由 、 与 的大小关系确定。
　　1．对于 ：
　　（1）当 ，因为对称轴左侧 随 的增大而减小，所以 的最大值为 ，最小值为 。这里 、 分别是 在 与 时的函数值。
　　（2）当 ，因为对称轴右侧 随 的增大而增大，所以 的最大值为 ，最小值为 。
　　（3）当 ， 的最大值为 、  中较大者， 的最小值为 .
　　2．对于
　　（1）当 ， 的最大值为 ，最小值为 。
　　（2）当 ， 的最大值为 ，最小值为 。
　　（3）当 ， 的最小值为 、  中较大者， 的最大值为 .
　　综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值： 、 、
　　二、例题解析
　　例1 已知 是方程 的两个实数根，求 的最大值和最小值。
　　解：由于题给出的二次方程有实根，所以 ，解得
　　∴ ＝ ＝ ＝
　　∵函数 在 随着 的增大而减小
　　∴当 时， ；当 时，
　　例2 （1）求函数 在区间 中的最大值和最小值。
　　（2）已知： ，且 ，求 的最小值。