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- 2010/8/26 17:42:44
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\数列
第五章 第1节 数列的概念与简单表示法.DOC
第五章 第2节 等差数列及其前n项和.DOC
第五章 第3节 等比数列及其前n项和.DOC
第五章 第4节 数列求和.DOC
第五章 第5节 数列的综合应用.DOC
第五章 数列 质量检测.DOC
第五章 第一节 数列的概念与简单表示法
题组一 由数列的前n项求数列的通项公式
1.数列2、5、22、…，则25是该数列的 ( )
A．第6项 B．第7项 C．第10项 D．第11项
解析：原数列可写成2、5、8，….
∵25＝20，∴20＝2＋(n－1)×3，∴n＝7.
答案：B
2．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是 ( )
A．an＝n2－n＋1 B．an＝n(n－1)2
C．an＝n(n＋1)2 D．an＝n(n＋2)2
解析：从图中可观察星星的构成规律，
n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；
n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…
∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)2.
答案：C
3．n个连续自然数按规律排成下表：
0 3 → 4 7 → 8 11 …
↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑
1 → 2 5 → 6 9 → 10
根据规律，从2 009到2 011的箭头方向依次为 ( )
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
解析：观察4的倍数0,4,8，…的位置．由于2 009＝4×502＋1，故2 009在箭头↓的下方，从而2 009与2 010之间是箭头→，2 010与2 011之间是箭头↑.
答案：B
题组二 由an与Sn的关系求通项公式
4.(2010•福州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝( )
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：an＝S1 (n＝1)，Sn－Sn－1 (n≥2)，
＝
∵n＝1时适合an＝2n－10，
∴an＝2n－10.
∵5＜ak＜8，∴5＜2k－10＜8，
∴152＜k＜9.
又∵k∈N*，∴k＝8.
答案：B
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？
解：(1)n＝1时，a1＝S1＝23；
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋25.
经验证，a1＝23符合an＝－2n＋25，
∴an＝－2n＋25(n∈N)．
(2)法一：∵Sn＝－n2＋24n＝－(n－12)2＋144，
∴n＝12时，Sn最大且Sn＝144.
法二：∵an＝－2n＋25，
∴an＝－2n＋25＞0，有n＜252，
∴a12＞0，a13＜0，故S12最大，最大值为144.
第五章 第五节 数列的综合应用
题组一 等差、等比数列的综合问题
1.已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则am＋cn等于 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：由题意得b2＝a＝a＋b,2n＝b＋＋cn＝an＋n＝a•b＋c2＋c•a＋b2a＋b2•b＋c2＝ab＋ac＋ac＋bcab＋ac＋b2＋bc2＝2.
答案：C
2．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有 ( )
A．a3＋a9≤b4＋b10
B．a3＋a9≥b4＋b10
C．a3＋a9≠b4＋b10
D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定
解析：∵a3＋a9≥2a3a9＝2a26＝2a6＝2b7＝b4＋b10，当且仅当a3＝a9时，不等式取等号．
答案：B
3．(文)已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a2＝3，S6＝36.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}是等比数列且满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24.设数列{an•bn}的前n项和为Tn，求Tn.
解：(1)∵数列{an}是等差数列，
∴S6＝3(a1＋a6)＝3(a2＋a5)＝36.
∵a2＝3，∴a5＝9，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2，
又∵a1＝a2－d＝1，∴an＝2n－1.
(2)由等比数列{bn}满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24，
得b4＋b5b1＋b2＝q3＝8，∴q＝2，
∵b1＋b2＝3，∴b1＋b1q＝3，∴b1＝1，bn＝2n－1，
∴an•bn＝(2n－1)•2n－1.
∴Tn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)•2n－2＋(2n－1)•2n－1，
则2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)•2n－1＋(2n－1)•2n，
两式相减得(1－2)Tn＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2•2n－2＋2•2n－1－(2n－1)•2n，即
－Tn＝1＋2(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)•2n
＝1＋2(2n－2)－(2n－1)•2n＝(3－2n)•2n－3，
∴Tn＝(2n－3)•2n＋3.
(理)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，数列{an＋Sn}是公差为2的等差数列．
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列{an－2}为等比数列；
(3)求数列{nan}的前n项和Tn.
解：(1)∵数列{an＋Sn}是公差为2的等差数列，
∴(an＋1＋Sn＋1)－(an＋Sn)＝2，即an＋1＝an＋22.
∵a1＝1，∴a2＝32，a3＝74.
(2)证明：由题意得a1－2＝－1，
又∵an＋1－2an－2＝an＋22－2an－2＝12，
∴{an－2}是首项为－1，公比为12的等比数列．
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