数学思想方法与新题型解析

约6510字。

　　数学思想方法与新题型解析
　　重点、难点：
　　数学思想反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的关键。在解综合题时，尤其需要用数学思想来统帅，分析、探求解题的思路，优化解题的过程，验证所得的结论。
　　在初中数学中常用的数学思想有方程思想、数形结合思想、转化思想和分类讨论思想。
　　（一）方程思想
　　在初中数学中，我们学习了许多类型的方程和方程组的解法。例如，一元一次方程、一元二次方程，可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法，二元一次方程组、三元一次方程组的解法，以及二元二次方程组的解法等，所以我们如果能把实际问题或数学问题转化成解上述方程或方程组，问题就容易解决了。
　　所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便。
　　1. 方程思想的最基本观点——几个未知数，列几个独立的方程
　　我们知道在一般情况下，几个未知数在几个独立的方程的制约下有确定的解。在涉及数量关系的问题中，用这一基本思想来分析、处理，能较为容易地找到解题途径。
　　例1. 已知： 是关于x的方程 的两个实数根，且 ，求m的值。
　　分析：本题中涉及三个未知数 ，需列出三个方程，题目中已给出了一个关于 的方程 ，那么只需再找出两个关于 和m的方程即可。
　　解法1  依题意，得
　　说明：一般地，有几个未知数，则需列几个方程。
　　例2. 如图，在直角三角形ABC中， ，AD是 的角平分线，DE//CA，已知CD=12，BD=15，求AE、BE的长。