立体几何基础题题库

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共50道小题，约7760字。

　　立体几何基础题题库
　　51. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=A、N分别为BC、AD的中点。 　
　　求：AM与CN所成的角的余弦值；
　　解析：(1)连接DM,过N作NE∥AM交DM于E，则∠CNE
　　为AM与CN所成的角。
　　∵N为AD的中点, NE∥AM省  　∴NE= AM且E为MD的中点。
　　设正四面体的棱长为1，　　则NC= • =  且ME= MD= 
　　在Rt△MEC中，E2+CM2= + = 
　　∴cos∠CNE= ,
　　又∵∠CNE ∈(0,  )
　　∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为 .
　　注：1、本题的平移点是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN外计算CE、CN、EN长，再回到△CEN中求角。
　　2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。
　　52. .如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7，  。求异面直线AB与CD所成的角。
　　解析：在BD上取一点G，使得 ，连结EG、FG
　　在ΔBCD中， ，故EG//CD，并且 ，
　　所以，EG=5；类似地，可证FG//AB，且 ，
　　故FG=3，在ΔEFG中，利用余弦定理可得
　　cos∠FGE= ，故∠FGE=120°。
　　另一方面，由前所得EG//CD，FG//AB，所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角，于是AB与CD所成的角等于60°。
　　53. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．
　　解一：连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，连OF，则OF∥AC1且OF= AC1，所以∠FOB即为AC1与DB所成的角。在△FOB中，OB= ，OF= ，BE= ，由余弦定理得
　　cos∠OB= =
　　解二：取AC1中点O1，B1B中点G．在△C1O1G中，∠C1O1G即AC1与DB所成的角。
　　解三：．延长CD到E，使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE∥BD，所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角．连EC1，在△AEC1
　　中，AE= ，AC1= ，C1E= 由余弦定理，得
　　cos∠EAC1= = ＜0
　　所以∠EAC1为钝角．
　　根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为
　　54. 已知AO是平面 的斜线，A是斜足，OB垂直 ，B为垂足，则
　　直线AB是斜线在平面 内的射影，设AC是 内的任一条直线，
　　解析：设AO与AB所成角为 ，AB与AC所成角为 ，AO与AC所成角为 ，则有 。
　　在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=
　　∠ACB= ， ，求异面直线SC与AB所成角的大小。（略去了该题的1,2问）
　　由SA⊥平面ABC知，AC为SC在平面ABC内的射影，
　　设异面直线SC与AB所成角为 ，
　　则  ，
　　由  得
　　∴   ，  ，
　　∴  ，  即异面直线SC与AB所成角为  。