北京市部分城区09-10学年高三期末考试分类解析（立体几何理）

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约2610字。

　　北京市部分城区09-10学年高三期末考试分类解析（立体几何理）
　　1.东城8.如图（1）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为 和半径为
　　的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图（2）水平放置时，液面高度为 ，当这个几何体如图（3）水平放置时，液面高度为 ，则这个简单几何体的总高度为
　　（  A  ）
　　A．             B．            C．       D．
　　图（1）                     图（2）                    图（3）
　　2.东城6. 给定下列四个命题：
　　①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
　　②若一条直线和两个平行平面中的一个平面 垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；
　　③若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；
　　④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
　　其中，为真命题的是                                              （  D ）
　　A．①和②     B．②和③        C．③和④     D．②和④
　　3.宣武区13.如图,已知 和 所在平面互相垂直，              ， ， ，
　　，且 ，则三棱锥 的
　　外接球的表面积为    .
　　4.东城17．（本小题满分14分）
　　如图，四棱锥 的底面是正方形， 平面 ． ， ， 是 上的点．
　　（Ⅰ）求证： ；（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
　　解：（Ⅰ）证明：连结 ．因为底面 是正方形，
　　所以  ．因为 平面 ， 平面 ，
　　所以         3分
　　又因为 ，所 以 平面 ．……5分
　　因为 平面 ，所以 ．…………7分
　　（Ⅱ）因为 平面 ，所以 ．
　　因为底面 是正方形所以 ．又因为 ，所以 平面 ，所以 ．………………………………10分
　　过点 在平面 内作 于 ，连结 ．
　　由于  ，所以 平面 ．
　　所以 ．故 是二面角 的平面角．………………………………………12分
　　在 中， ， ，可求得 ．在 中， ， ，可求得 ．所以 ．即二面角 的余弦值为 ．…………14分
　　解法（二）（Ⅰ）如图以 为原点建立空间直角坐标系 ．
　　则 ， ， ， ， ， ，
　　， ………3分
　　．
　　所以 ．即 ．……………………7分
　　（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， ．设平面 的法向量为 ，则由
　　， ，得   即
　　取 ，得 ．…………………………………………11分
　　易知平面 的一个法向量为 ．设二面角 的平面角为 ．
　　则 ．即二面角 的余弦值为 ．………………………14分