《立体几何》解答题训练卷

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共23道小题，约5710字。

　　《立体几何》解答题训练卷
　　1.（2008年江苏卷）如图，在四面体ABCD中，CB＝CD , AD⊥BD，点E , F分别是AB , BD的中点.
　　求证：（Ⅰ）直线EF∥平面ACD；   （Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD.
　　2.（2009年江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
　　E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C
　　求证：（Ⅰ）EF∥平面ABC；        （Ⅱ）平面A1FD⊥平面BB1C1C.
　　（第1题）                 （第2题）                （第3题）               （第4题）
　　3. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，M、N分别为A1B、B1C1的中点.
　　（Ⅰ）求证：BNB1；      （Ⅱ）求证：平面A1CB⊥平面ACC1A1．
　　4. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1，AC⊥BC, 点D是AB的中点.
　　（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；    （Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1；
　　（Ⅲ）线段AB上是否存在点M，使得A1M⊥平面CDB1？
　　5. 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，Ｅ为BC的中点.
　　（Ⅰ）求证：BD⊥平面AB1E；      （Ⅱ）求直线AB1与平面BB1C1C所成角的正弦值；
　　（Ⅲ）求三棱锥C－ABD的体积.
　　6. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F为AA1的中点.
　　求证：（Ⅰ）A1C∥平面FBD；      （Ⅱ）平面FBD⊥平面DC1B.
　　（第5题）                          （第6题）                    （第7题）
　　7. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．
　　（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；  （Ⅱ）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1；
　　（Ⅲ）如果AB＝1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、
　　C1D1、D1D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由.
　　8. 正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，
　　BC＝ BB1, 设B1D BC1＝F.
　　（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；   （Ⅱ）求证：BC1⊥平面AB1D.            （第8题）
　　9. 如图所示,在直四棱柱ABCD－A1B1C1中, DB＝BC, DB⊥A是棱BB1上一点.
　　(Ⅰ)求证：B1D1 ∥面A1BD；         (Ⅱ)求证：MD⊥AC；
　　(Ⅲ)试确定点M的位置, 使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
　　10. 四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为8的菱形，∠BAD＝60°,
　　若PA＝PD＝5，平面PAD⊥平面ABCD.
　　(Ⅰ)求四棱锥P－ABCD的体积；         (Ⅱ)求证：AD⊥PB；
　　(Ⅲ)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论？
　　（第9题）               （第10题）                  （第11题）              （第12题）
　　11. 如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
　　(Ⅰ)求证：AE⊥BE；
　　(Ⅱ)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE． 
　　12. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3, BC＝2 ,
　　D是BC的中点，F是CC1上一点，且CF＝2，E是AA1上一点，且AE＝2.
　　(Ⅰ) 求证：B1F⊥平面ADF；  （Ⅱ）求证：BE∥平面ADF.