2010中考数学热点专题十——动点、函数、几何问题

约5350字。　　
　　2010中考数学热点专题十——动点、函数、几何问题
　　黑龙江省  王振全
　　【考点聚焦】
　　本专题包括动点在函数中的运用和几何中的运用，是这几年中考的重点也是难点。都出现在压轴题中，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。 
　　热点一动点与几何
　　例1已知：如图（1），在 中， ， ， ，点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度为1cm/s；点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度为2cm/s；连接 ．若设运动的时间为 （ ），解答下列问题： 
　　（1）当 为何值时， ？ 
　　（2）设 的面积为 （ ），求 与 之间的函数关系式； 
　　（3）是否存在某一时刻 ，使线段 恰好把 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 的值；若不存在，说明理由； 
　　（4）如图（2），连接 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否存在某一时刻 ，使四边形 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． 
　　图（1）                         图（2） 
　　解（1）在Rt△ABC中， ，
　　由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，
　　若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，
　　∴  ，∴ ，∴ ．        
　　（2）过点P作PH⊥AC于H．
　　∵△APH ∽△ABC，
　　∴  ，∴  ，∴ ，
　　∴ ．    　
　　（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．
　　∴ ，    解得： ．
　　若PQ把△ABC面积平分，则 ，  即－ ＋3t=3．
　　∵ t=1代入上面方程不成立， 
　　∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．
　　（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，
　　若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．
　　∵PM⊥A，∴QM=CM．
　　∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
　　∴ ，  ∴ ，
　　∴ ， ∴ ，
　　∴ ，解得： ．
　　∴当 时，四边形PQP ′ C 是菱形．     
　　此时 ，　 ，
　　在Rt△PMC中， ，