1.3.1辗转相除法与更相减损术教案

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　　约1570字 高一数学必修3导学案(教师版)      编号　　
　　1.3.1辗转相除法与更相减损术
　　周次　　　　上课时间　　月   日
　　周　　课型　　新授课　　主备人　　　　使用人　　
　　课题　　1.3.1辗转相除法与更相减损术
　　教学目标　　1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析；
　　2.能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.
　　教学重点　　理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法
　　教学难点　　把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言
　　课前准备　　多媒体课件

　　教学过程：
　　一、〖创设情境〗
　　1.在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？
　　2 我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大（如求8251与6105
　　的最大公约数）而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，使用上述方法求最大公约数
　　就比较困难，我们又应该怎样求它们的最大公约数？这就是我们这一节课所要探讨的内容.
　　二、〖新知探究〗
　　（一）辗转相除法
　　例1 求8251和6105的最大公约数.
　　分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据
　　已有的知识即可求出最大公约数.
　　解：8251＝6105×1＋2146
　　由此可得，6105与2146的公约数也是8251与6105的公约数，同样8251与6105的公约数
　　也是6105与2146的公约数，所以它们的最大公约数相等.
　　重复上述步骤：
　　6105＝2146×2＋1813
　　2146＝1813×1＋333
　　1813＝333×5＋148
　　333＝148×2＋37
　　148＝37×4＋0
　　则最后的除数37就是148和37的最大公约数，也就是8251与6105的最大公约数.
　　以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法,也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前
　　300年左右首先提出的.
　　〖思考〗：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？
　　算法步骤如下：
　　第一步：给定两个正整数，.
　　第二步：计算除以所得的余数.
　　第三步：.
　　第四步：若，则，的最大公约数等于；否则，返回第二步.
　　程序框图：                             程序：
　　                                                 UNTIL型语句
　　
　　WHILE型语句
　　
　　〖思考〗：你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？试写出算法步骤、程序框图和程序.
　　随堂练习：
　　1.利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）.
　　2.课本P45 1
　　（二）更相减损术
　　中国古代的数学专著《九章算术》中也有求最大公约数的算法，就是更相减损术.
　　即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”
　　翻译为现代语言如下： 
　　第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.
　　第二步：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
　　例2  用更相减损术求98与63的最大公约数.
　　解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：
　　98－63＝35