2019高考数学高分突破二轮复习练习：三角恒等变换与解三角形

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第2讲　三角恒等变换与解三角形
　　高考定位　1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.
　　真 题 感 悟
　　1.(2018•全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos C2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)
　　A.42  B.30 C.29  D.25
　　解析　因为cos C2＝55，所以cos C＝2cos2 C2－1＝2×552－1＝－35.
　　于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×－35＝32.所以AB＝42.
　　答案　A
　　2.(2017•全国Ⅰ卷)已知α∈0，π2，tan α＝2，则cosα－π4 ＝________.
　　解析　∵α∈0，π2，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α，
　　又sin 2α＋cos2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55.
　　所以cosα－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010.
　　答案　31010
　　3.(2018•全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
　　(1)求cos∠ADB；
　　(2)若DC＝22，求BC.
　　解　(1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB，即5sin 45°＝2sin∠ADB，
　　所以sin∠ADB＝25.
　　由题设知，∠ADB<90°，
　　所以cos∠ADB＝1－225＝235.
　　(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.
　　在△BCD中，由余弦定理得
　　BC2＝BD2＋DC2－2•BD•DC•cos∠BDC
　　＝25＋8－2×5×22×25＝25.
　　所以BC＝5.
　　4.(2018•浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P －35，－45.
　　(1)求sin(α＋π)的值；
　　(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值.
　　解　(1)由角α的终边过点P －35，－45，
　　得sin α＝－45，
　　所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.
　　(2)由角α的终边过点P －35，－45，得cos α＝－35，
　　由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.
　　由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
　　所以cos β＝－5665或cos β＝1665.
　　考 点 整 合
　　1.三角函数公式
　　(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
　　sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
　　cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
　　tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.
　　(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
　　(3)辅助角公式：asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tan φ＝ba.
　　2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式
　　(1)正弦定理
　　在△ABC中，asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；
　　变形：a＝2Rsin A，sin A＝a2R，
　　a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
　　(2)余弦定理
　　在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A；
　　变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝b2＋c2－a22bc.