2019高考数学高分突破二轮复习练习：立体几何中的向量方法

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第3讲　立体几何中的向量方法
　　高考定位　以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.
　　真 题 感 悟
　　1.(2017•全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
　　A.32  B.155  C.105  D.33
　　解析　法一　以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.
　　图(1)　　　　　　　　　　　图(2)
　　则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).
　　又在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝2，则A(－1，3，0).
　　所以AB1→＝(1，－3，1)，BC1→＝(1，0，1)，
　　则cos〈AB1→，BC1→〉＝AB1→•BC1→|AB1→|•|BC1→|
　　＝（1，－3，1）•（1，0，1）5×2＝25×2＝105，
　　因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为105.
　　法二　如图(2)，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则PN∥BC1，MN∥AB1，
　　∴AB1与BC1所成的角是∠MNP或其补角.
　　∵AB＝2，BC＝CC1＝1，
　　∴MN＝12AB1＝52，NP＝12BC1＝22.
　　取BC的中点Q，连接PQ，MQ，则可知△PQM为直角三角形，且PQ＝1，MQ＝12AC，
　　在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB•BC•cos∠ABC
　　＝4＋1－2×2×1×－12＝7，AC＝7，
　　则MQ＝72，则△MQP中，MP＝MQ2＋PQ2＝112，
　　则△PMN中，cos∠PNM＝MN2＋NP2－PM22•MN•NP
　　＝522＋222－11222×52×22＝－105，
　　又异面直线所成角范围为0，π2，则余弦值为105.
　　答案　C
　　2.(2018•全国Ⅲ卷)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD︵所在平面垂直，M是CD︵上异于C，D的点.
　　(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
　　(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.
　　(1)证明　由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.
　　因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，
　　所以BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CDM，故BC⊥DM.
　　因为M为CD︵上异于C，D的点，且DC为直径，
　　所以DM⊥CM.
　　又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.
　　由于DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.