2018年中考数学试题分类汇编考点22：勾股定理

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共17道小题，约5270字。

2018中考数学试题分类汇编：考点22 勾股定理　
　　一．选择题（共7小题）
　　1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）
　　A．5 B．6 C．7 D．8
　　【分析】直接根据勾股定理求解即可．
　　【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
　　∴弦为 =5．
　　故选：A．
　　2．（2018•枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（　　）
　　A． B． C． D．
　　【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
　　【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，
　　∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
　　∴∠CDA=90°，
　　∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
　　∵AF平分∠CAB，
　　∴∠CAF=∠FAD，
　　∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
　　∴CE=CF，
　　∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
　　∴FC=FG，
　　∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，
　　∴△BFG∽△BAC，
　　∴ = ，
　　∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
　　∴BC=4，
　　∴ = ，
　　∵FC=FG，
　　∴ = ，
　　解得：FC= ，
　　即CE的长为 ．
　　故选：A．
　　3．（2018•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）
　　A．9 B．6 C．4 D．3
　　【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
　　【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
　　∵每一个直角三角形的面积为：  ab= ×8=4，
　　∴4× ab+（a﹣b）2=25，
　　∴（a﹣b）2=25﹣16=9，
　　∴a﹣b=3，
　　故选：D．
　　4．（2018•温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（　　）
　　A．20 B．24 C． D．
　　【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求出x的值，进而可求出该矩形的面积．
　　【解答】解：设小正方形的边长为x，
　　∵a=3，b=4，
　　∴AB=3+4=7，
　　在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
　　即（3+x）2+（x+4）2=72，
　　整理得，x2+7x﹣12=0，
　　解得x= 或x= （舍去），
　　∴该矩形的面积=（ +3）（ +4）=24，
　　故选：B．
　　5．（2018•娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（　　）
　　A． B．﹣ C． D．﹣
　　【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．
　　【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，
　　∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，
　　在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
　　即AC2+（7+AC）2=132，
　　整理得，AC2+7AC﹣60=0，
　　解得AC=5，AC=﹣12（舍去），
　　∴BC= =12，
　　∴sinα= = ，cosα= = ，
　　∴sinα﹣cosα= ﹣ =﹣ ，
　　故选：D．
　　6．（2018•长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，